MaA 5 Funktioner och ekvationer 2

5. Ekvationer med cosinus

Ekvationen \( \cos \alpha = a \)

För ekvationen \( \cos \alpha =a \) utgår vi på samma sätt som för ekvationen \( \sin \alpha = a \). Vi börjar med en enhetscirkel och kommer ihåg att cosinus ger periferipunktens x-koordinat.

Vi får att

På bilden gäller att \( \beta = -\alpha \). Vi får att ekvationen \( \cos \alpha =a \) har två lösningar, vinklarna \( \alpha \) och \( -\alpha \). När vi går hela varv kommer vi tillbaka till samma periferipunkter.

Lösningarna för ekvationen \( \cos \alpha =a \) där \( \alpha_0 \) är en lösning kan vi skriva som

\( \alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 360^{\circ} \) där n är ett heltal, eller som

\( \alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 2\pi \) där n är ett heltal.

Exempel 1 Lös ekvationen \( 2\cos \alpha +1=0 \)

Lösning

Vi får

\( \begin{array}{rcl} 2 \cos \alpha +1 & = & 0 \\ 2 \cos \alpha & = & =-1 \\ \cos \alpha & = & = -\dfrac{1}{2} \\ \end{array} \)

En vinkel som uppfyller villkoret är \( \alpha = 120^{\circ} = \dfrac{2\pi}{3} \).

(Vissa exakta värden för vinklar för sinus och cosinus hittar du i MAOL:s tabeller.)

Vi får alltså \( \alpha = \pm \dfrac{2\pi}{3} +n\cdot 2\pi \), där \( n \in \mathbb{Z} \).

Exempel 2 Bestäm de vinklar som uppfyller ekvationen \( \cos \alpha = \cos 3\alpha \).

Lösning

Vi får \( \alpha =\pm 3\alpha +n\cdot 2\pi \) som vi måste dela upp i två olika fall.

Fall 1

\( \begin{array}{rcll} \alpha & = & 3\alpha +n\cdot 2\pi \\ -2 \alpha & = & n\cdot 2\pi & | /(-2)\\ \alpha & = & -n\cdot \pi & \end{array} \)

som är samma som \( \alpha = n\cdot \pi \) eftersomn är ett heltal.

Fall 2

\( \begin{array}{rcll} \alpha & = & -3\alpha +n\cdot 2\pi \\ 4 \alpha & = & n\cdot 2\pi & | /4\\ \alpha & = & n\cdot \dfrac{\pi}{2} & \end{array} \)

Lösningarna kan vi skriva som \( \alpha = n\cdot \dfrac{\pi}{2} \), där n är ett heltal.

För ekvationer med cosinus gäller följande

\( \cos \alpha = a \)

\( \alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 360^{\circ} \) där n är ett heltal

eller som

\( \alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 2\pi \) där n är ett heltal.

Uppgifter

  1. Lös följande ekvationer med en tiondels grads noggrannhet.
    1. \( \cos \alpha = 0,76 \)

      Räknaren ger oss \( 40,5^{\circ} \).

      Alla vinklar är \( \alpha = \pm 40,5^{\circ} + n\cdot 360^{\circ} \) där \( n \) är ett heltal.

    2. \( \cos \alpha = 0,15 \)

      Räknaren ger oss \( 81,4^{\circ} \).

      Alla vinklar är \( \alpha = \pm 81,4^{\circ} + n\cdot 360^{\circ} \) där \( n \) är ett heltal.

    3. \( \cos \alpha = -0,76 \)

      Räknaren ger oss \( 139,5^{\circ} \).

      Alla vinklar är \( \alpha = \pm 139,5^{\circ} + n\cdot 360^{\circ} \) där \( n \) är ett heltal.

      Vi kan inte förenkla vinkeln, men vi kan tänka att cosinus av vinklarna som har värdena 0,76 och -0,76 hänger ihop som så att \( 180^{\circ} - 40,5^{\circ} = 139,5^{\circ} \).

  2. Lös följande ekvationer med en tiondels grads noggrannhet.
    1. \( \cos \alpha = 0,42 \)

      Räknaren ger oss \( 65,17^{\circ} \).

      Alla vinklar är \( \alpha = \pm 65,2^{\circ} + n\cdot 360^{\circ} \) där \( n \) är ett heltal.

    2. \( \cos \alpha = -0,50 \)

      Räknaren ger oss \( 120^{\circ} \).

      Alla vinklar är \( \alpha = \pm 120^{\circ} + n\cdot 360^{\circ} \) där \( n \) är ett heltal.

      Vi kan inte förenkla vinkeln, men vi kan tänka att cosinus av vinklarna som har värdena 0,50 och -0,50 hänger ihop som så att \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

    3. \( \cos \alpha = -0,88 \)

      Räknaren ger oss \( 151,64^{\circ} \).

      Alla vinklar är \( \alpha = \pm 151,6^{\circ} + n\cdot 360^{\circ} \) där \( n \) är ett heltal.

      Vi kan inte förenkla vinkeln, men vi kan tänka att cosinus av vinklarna som har värdena 0,88 och -0,88 hänger ihop som så att \( 180^{\circ} - 151,6^{\circ} = 28,4^{\circ} \).

  3. Bestäm de exakta värdena av cosinus för följande vinklar
    -1\( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)\( -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)\( -\dfrac{1}{2} \)0\( \dfrac{1}{2} \)\( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)\( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)1
    \( \cos 0 \)
    \( \cos \dfrac{\pi}{6} \)
    \( \cos \dfrac{\pi}{4} \)
    \( \cos \dfrac{\pi}{3} \)
    \( \cos \dfrac{\pi}{2} \)
    \( \cos \dfrac{2\pi}{3} \)
    \( \cos \dfrac{3\pi}{4} \)
    \( \cos \dfrac{5\pi}{6} \)
    \( \cos \pi \)

    -1\( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)\( -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)\( -\dfrac{1}{2} \)0\( \dfrac{1}{2} \)\( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)\( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)1
    \( \cos 0 \)
    \( \cos \dfrac{\pi}{6} \)
    \( \cos \dfrac{\pi}{4} \)
    \( \cos \dfrac{\pi}{3} \)
    \( \cos \dfrac{\pi}{2} \)
    \( \cos \dfrac{2\pi}{3} \)
    \( \cos \dfrac{3\pi}{4} \)
    \( \cos \dfrac{5\pi}{6} \)
    \( \cos \pi \)
  4. Lös följande ekvationer genom att använda dig av radianer.
    1. \( \cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)

      Tabellboken ger oss \( \dfrac{\pi}{4} \).

      Alla vinklar är \( \alpha = \pm \dfrac{\pi}{4} + n\cdot 2\pi \) där \( n \) är ett heltal.

    2. \( \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

      Tabellboken ger oss \( \dfrac{\pi}{6} \).

      Alla vinklar är \( \alpha = \pm \dfrac{\pi}{6} + n\cdot 2\pi \) där \( n \) är ett heltal.

    3. \( \cos 2\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)

      Tabellboken ger oss en vinkel \( \dfrac{\pi}{4} \).

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} 2 \alpha & = & \pm \dfrac{\pi}{4} + n\cdot 2\pi \\ \alpha & = & \pm \dfrac{\pi}{8} + n\cdot \pi, n \in \mathbf{ Z } \\ \end{array} \)

    4. \( \cos 3\alpha = \dfrac{1}{2} \).

      Tabellboken ger oss en vinkel \( \dfrac{\pi}{3} \).

      Vi får

      \( \begin{array}{rcl} 3 \alpha & = & \pm \dfrac{\pi}{3} + n\cdot 2\pi \\ \alpha & = & \pm \dfrac{\pi}{9} + n\cdot \dfrac{2\pi}{3}, n \in \mathbf{ Z } \\ \end{array} \)

  5. Bestäm \( \cos 2 \alpha = 0 \).

    Enhetscirkeln ger oss att \( \dfrac{\pi}{2} = 0 \). För cosinus gäller att lösningen är en vinkel och dess motsatta vinkel.

    Alltså

    \( \begin{array}{rcll} 2 \alpha & = & \pm\dfrac{\pi}{2} +n\cdot 2 \pi & | /2\\ \\ \alpha & = & \pm\dfrac{\pi}{4} +n\cdot \pi \end{array} \)
    där n är ett heltal.

  6. Bestäm \( \cos 4x = \dfrac{1}{2} \).

    För cosinus gäller att \( \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \). Dessutom har vi vinkeln och den motsatta.

    Alltså

    \( \begin{array}{rcll} 4 x & = & \pm \dfrac{\pi}{3} +n\cdot 2\pi & | /4 \\ \\ x & = & \pm \dfrac{\pi}{12} +n\cdot \dfrac{\pi}{2} \end{array} \)

    där n är ett heltal.

  7. Lös ekvationen \( 2\cos \alpha -1 =0 \).

    Vi får att

    \( \begin{array}{rcl} 2 \cos \alpha -1 & = & 0\\ 2\cos \alpha & = & 1 \\ \cos \alpha & = & \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \)

    som har lösningen \( \alpha=\dfrac{\pi}{3} + n\cdot 2\pi \) där \( n\in \mathbb{Z} \). För cosinus har vi vinkeln och dess motsatta vinkel.

    Alltså \( \alpha = \pm \dfrac{\pi}{3} + n\cdot 2\pi, n \in \mathbb{Z} \).

  8. Bestäm de \( x \) som löser ekvationen \( \cos (3x +\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

    Enhetscirkleln eller tabellboken ger oss att \( \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

    Vi får

    \( \begin{array}{rcll} 3x +\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{6} +n\cdot 2\pi \\ 3x = \dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{2} +n\cdot 2\pi \\ 3x = -\dfrac{\pi}{3} +n\cdot 2\pi & | /3\\ x = -\dfrac{\pi}{9} +n\cdot \dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array} \)

    och

    \( \begin{array}{rcll} 3x +\dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{6} +n\cdot 2\pi \\ 3x = -\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{2} +n\cdot 2\pi \\ 3x = -\dfrac{2\pi}{3} +n\cdot 2\pi & | /3\\ x = -\dfrac{2\pi}{9} +n\cdot \dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array} \)

    Alltså \( x = -\dfrac{\pi}{9} +n\cdot \dfrac{2\pi}{3} \) och \( x = -\dfrac{2\pi}{9} +n\cdot \dfrac{2\pi}{3} \) där \( n\in \mathbf{Z} \).

  9. Bestäm \( \cos \dfrac{x}{3} =\cos \dfrac{x}{2} \).

    Vi får

    \( \begin{array}{rcll} \dfrac{x}{3} & = & \dfrac{x}{2} +n \cdot 2\pi \\ \dfrac{x}{3} -\dfrac{x}{2} & = & n \cdot 2\pi \\ -\dfrac{x}{6} & = & n \cdot 2\pi & |\cdot (-6) \\ x & = & -n\cdot 12 \pi \\ & = & n\cdot 12\pi\\ \end{array} \)

    och

    \( \begin{array}{rcll} \dfrac{x}{3} & = & -\dfrac{x}{2} +n \cdot 2\pi \\ \dfrac{x}{3} +\dfrac{x}{2} & = & n \cdot 2\pi \\ \dfrac{5x}{6} & = & n \cdot 2\pi & |\cdot \dfrac{6}{5} \\ x & = & n\cdot \dfrac{12 \pi}{5} \\ \end{array} \)

    Alltså\( x=n\cdot 12\pi \) och \( x =n\cdot \dfrac{12 \pi}{5} \).

  10. Bestäm \( \cos 2x =\cos \dfrac{x}{4} \).

    Vi får

    \( \begin{array}{rcll} 2x & = & \dfrac{x}{4} +n \cdot 2\pi \\ 2x -\dfrac{x}{4} & = & n \cdot 2\pi \\ \dfrac{7x}{4} & = & n \cdot 2\pi & |\cdot \dfrac{4}{7} \\ x & = & n\cdot \dfrac{8\pi}{7} \\ \end{array} \)

    och

    \( \begin{array}{rcll} 2x & = & -\dfrac{x}{4} +n \cdot 2\pi \\ 2x +\dfrac{x}{4} & = & n \cdot 2\pi \\ \dfrac{9x}{4} & = & n \cdot 2\pi & |\cdot \dfrac{4}{9} \\ x & = & n\cdot \dfrac{8\pi}{9} \\ \end{array} \)

    Alltså \( x=n\cdot \dfrac{8\pi}{7} \) och \( x=n\cdot \dfrac{8\pi}{9} \).

  11. Lös \( \cos^2 x +\cos x =2 \).

    Vi substituerar \( \cos x =t \). Då får vi ekvationen \( t^2 +t = 2 \Leftrightarrow t^2-t-2=0 \) som har lösningarna \( t_1 = 1 \) och \( t_2=-2 \).

    Då vi substituerar tillbaka får vi \( \cos x = 1 \) och \( \cos x =-2 \).

    För \( \cos x = 1 \) gäller att \( x= 0 +n\cdot 2\pi \). Ekvationen \( \cos x = -2 \) saknar lösningar eftersom värdemängden för cosinus är mellan -1 och 1.

    Alltså \( x= 0 +n\cdot 2\pi \) där \( n \in \mathbf{Z} \).

  12. Bestäm \( \cos(\cos x )=1 \).

    Cosinus får värdet 1 då vinkeln har värdet \( 0 +n\cdot 2\pi \).

    Då gäller att den inre \( \cos x =0 \), alltså \( x=\dfrac{\pi}{2} \) och \( x=\dfrac{3\pi}{2} \).

    Som vi kan skriva som \( x = \dfrac{\pi}{2} +n\cdot \pi \).