MaA 5 Funktioner och ekvationer 2

10. Potensekvationer

Exempel 1 Lös ekvationen

  1. \( x^2=1 \)
  2. \( x^2=5 \)
  3. \( x^5 = -1 \)
  4. \( 2x^4 = 1 \)

Exempel 2 Lös följande ekvationer:

  1. \( 3^2 = 81^x \)
  2. \( 16 \cdot 64^x = 256^{x-1} \).

Lösning

  1. \( 3^2 = 81^x \)

    Vi skriver 81 som \( 3^4 \). Vi får

    \( \begin{array}{rcl} 3^2 & = & 81^x \\ 3^2 & = & (3^4)^x \\ 3^2 & = & 3^{4x} \\ \end{array} \)

    Eftersom vi har samma bas måste exponenterna vara samma för att ekvationen skall gälla. \( 2=4x \) ger att \( x=\dfrac{1}{2} \).

  2. \( 16 \cdot 64^x = 256^{x-1} \)

    Vi kan skriva \( 16=2^4 \), \( 64=2^6 \) och \( 256=2^8 \). Vi får

    \( \begin{array}{rcll} 16 \cdot 64^x & = & 256^{x-1} \\ 2^4 \cdot (2^6)^x & = & (2^8)^{x-1} \\ 2^4 \cdot 2^{64x} & = & 2^{8(x-1)}\\ 2^{4+6x} & = & 2^{8(x-1)} & \textrm{ Samma bas! Undersöker exponenterna.} \\ 4+6x & = & 8(x-1) \\ 4+6x & = & 8x-8 \\ -2x & = & -12 \\ x & = & 6 \\ \end{array} \)

Uppgifter

  1. Lös följande ekvationer
    1. \( x^6 = 729 \)

      \( x^6 = 729 \) ger \( x=729^{\frac{1}{6}}=3 \). Ekvationen har lösningen \( \pm3 \).

    2. \( x^3 = -125 \)

      \( x^3 = -125 \) ger \( x=\sqrt[3]{-125}=-5 \).

    3. \( x^7 = -128 \)

      \( x^7 = -128 \) ger \( x=\sqrt[7]{-128} = -2 \).

  2. Lös följande ekvationer
    1. \( x^4 = 16 \)

      \( x^4 = 16 \) ger \( x=16^{\frac{1}{4}}=2 \). Ekvationen har lösningen \( \pm 2 \).

    2. \( x^3 = 27 \)

      \( x^3 = 27 \) ger \( x=\sqrt[3]{27}=3 \).

    3. \( 3^x = 27 \)

      Vad skall vi höja upp 3 i för att komma till 27? Jo \( 3^3 = 27 \). Alltså \( x = 3 \).

  3. Lös ekvationerna och ge exakt svar
    1. \( 3x^6 = 2 \)

      \( 3x^6 = 2 \), alltså \( x^6=\dfrac{2}{3} \) som ger \( \pm\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\frac{1}{6}} \).

    2. \( \dfrac{1}{4}x^3 = 1 \)

      \( \dfrac{1}{4}x^3 = 1 \), som är \( x^3=4 \), alltså \( 4^{\frac{1}{3}} \).

    3. \( \dfrac{2x^7}{5} = -\dfrac{5}{2} \)

      \( \begin{array}{rcll} \dfrac{2x^7}{5} & = & -\dfrac{5}{2} & \mid \cdot \dfrac{5}{2} \\ x^7 & = & -\dfrac{25}{4} & \mid \sqrt[7]{\quad} \\ x & = & -\sqrt[7]{\dfrac{25}{4}} \\ \end{array} \)

  4. Lös ekvationerna genom att hitta en gemensam bas.
    1. \( 25^x -625= 0 \)

      \( \begin{array}{rcl} 25^x -625& = & 0 \\ 25^x & = & 625 \\ 5^{2^x} & = & 5^4 \\ \end{array} \)

      Alltså \( 2x=4 \), \( x=2 \).

    2. \( (2^3)^x \cdot (4^3)^x = 64^{x-1} \)

      \( \begin{array}{rcl} (2^3)^x \cdot (4^3)^x & = & 64^{x-1} \\ 2^{3x} \cdot 2^{2^3x} & = & 2^{6^{x-1}} \\ 2^{3x} \cdot 2^{6x} & = & 2^{6(x-1)} \\ 2^{3x+6x} & = & 2^{6(x-1)} \\ \end{array} \)

      Alltså \( 3x+6x=6(x-1) \). Alltså \( x=-2 \).

    3. \( 27^{x-1} \cdot 9^x = 2187 \)

      \( \begin{array}{rcl} 27^{x-1} \cdot 9^x & = & 2187 \\ 3^{3^{x-1}} \cdot 3^{2^x} & = & 3^7 \\ 3^{3(x-1)+2x} & = & 3^7\\ \end{array} \)

      Alltså \( 3(x-1)+2x=7 \). Alltså \( x=2 \).