MaA 5 Funktioner och ekvationer 2

11. Logaritmer

Tag och beskriv talen \( 2 \), \( 4 \), \( 5 \), \( \sqrt{2} \) och \( \dfrac{1}{8} \) som potenser med basen 2.

Logaritmen för talet \( a \) är den exponent \( x \) som basen \( b \) måste upphöjas i för att ha samma värde som \( a \).

\( a=b^x \)

För talet 1000 gäller att logaritmen är 3 i basen 10 eftersom \( 1000=10^3 \).

Vi kan skriva det som \( y=b^x \Leftrightarrow x=\log_b(y) \). Där \( b \) och \( y \) är positiva och \( b\not=1 \).

Till exempel är \( 4^3 = 64 \), det betyder att för talet 64 är logaritmen 3 i basen 4. Det kan vi skriva som \( 3=\log_4 (64) \).

Logaritmer introducerades av John Napier för att göra uträkningar simplare. I dagens läge med datorer så är nyttan inte lika stor som på tidigt 1600-tal men ännu används logaritmer då vi bestämmer pH hos ämnen eller då vi bestämmer ljudstyrkan.

Exempel 1 Bestäm logaritmen med basen 6 då

  • \( 6^9 \). Eftersom vi höjer talet 6 i 9 är basen 6 och exponenten 9. Logaritmen med basen 6 är 9.
  • \( 216 \). Talet \( 216 = 6^3 \). Logaritmen med basen 6 av talet 216 är 3.
  • \( 1 \). 1 kan vi skriva som \( 1=6^0 \). Logaritmen med basen 6 av talet 1 är 0.
  • \( \dfrac{1}{\sqrt{6}} \). \( \dfrac{1}{\sqrt{6}}=6^{-\dfrac{1}{2}} \). Logaritmen med basen 6 av talet \( \dfrac{1}{\sqrt{6}} \) är \( - \dfrac{1}{2} \).

När vi har logaritmer har vi vissa baser som används mera än andra. De baserna är \( 2 \), \( e \) och \( 10 \).

BasenKallas förLogaritmen betecknasAnvänds i
2Binär logaritm\( \textrm{lb} \)Dataveteskaper, informationsteknologi, fotografering, musikteori
eNaturlig logaritm\( \ln \)Naturvetenskaper (matematik, fysik, kemi), statistik, ekonomi, informationsteknologi
10Allmän logaritm\( \lg \)Logaritmiska tabeller, decibelskalan, Richterskalan, spektroskopi

Exempel 2 Bestäm \( \lg 2x-1=0 \).

Lösning

Logaritmen är definierad då \( 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0 \).

\( \lg 2x - 1=0 \Leftrightarrow \lg 2x = 1 \Leftrightarrow \lg 2x = \lg 10^1 \) som ger oss att \( 2x=10 \Leftrightarrow x=5 \).

Sambandet mellan potenser och logaritmer är följande

\( y=b^x \Leftrightarrow x=\log_b(y) \), där \( b \) och \( x \) är positiva och \( b\not=1 \).

För logaritmer gäller följande specialfall:

  • \( \log_a 1 =0 \) eftersom \( a^0=1 \)
  • \( \log_a a =1 \) eftersom \( a^1=a \)

Uppgifter

  1. Välj rätt alternativ så att logaritmen med basen 3 stämmer då

    Kom ihåg att \( 81=3^4 \). Logaritmen i basen 3 av talet 81 är 4.

    Påstående\( -7 \)\( -3 \)\( -1 \)\( 0 \)\( 5 \)\( 6 \)
    \( 3^5 \)
    \( 729 \)
    \( 1 \)
    \( \dfrac{1}{3} \)
    \( \dfrac{1}{27} \)
    \( \dfrac{1}{3^7} \)

    Påstående\( -7 \)\( -3 \)\( -1 \)\( 0 \)\( 5 \)\( 6 \)
    \( 3^5 \)
    \( 729 \)
    \( 1 \)
    \( \dfrac{1}{3} \)
    \( \dfrac{1}{27} \)
    \( \dfrac{1}{3^7} \)
    • \( 3^5 \), 5
    • \( 729=3^6 \), 6
    • \( 1=3^0 \), 0
    • \( \dfrac{1}{3} =3^{-1} \), \( -1 \)
    • \( \dfrac{1}{27} =3^{-3} \), \( -3 \)
    • \( \dfrac{1}{3^7} =3^{-7} \), \( -7 \)

  2. Kombinera så att logaritmen med basen 5 blir rätt då

    Tex \( 3125 = 5^5 \). Logaritmen av talet 3125 i basen 5 är 5.

    Påstående\( -2 \)\( -1 \)\( 0 \)\( \dfrac{1}{2} \)\( 3 \)\( 4 \)
    \( 625 \)
    \( \sqrt{5} \)
    \( \dfrac{1}{25} \)
    \( \dfrac{1}{5} \)
    \( 125 \)
    \( 1 \)

    Påstående\( -2 \)\( -1 \)\( 0 \)\( \dfrac{1}{2} \)\( 3 \)\( 4 \)
    \( 625 \)
    \( \sqrt{5} \)
    \( \dfrac{1}{25} \)
    \( \dfrac{1}{5} \)
    \( 125 \)
    \( 1 \)
    • \( 625=5^4 \), 4
    • \( 125=5^3 \), 3
    • \( 1=5^0 \), 0
    • \( \dfrac{1}{5}=5^{-1} \), \( -1 \)
    • \( \dfrac{1}{25}=5^{-2} \), \( -2 \)
    • \( \sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}} \), \( \dfrac{1}{2} \)
  3. Bestäm värdet av följande uttryck.
    1. \( \log_2 2^{11} \)

      \( \log_2 2^{11} = 11 \) eftersom vi söker exponenten som 2 höjs upp i för att ha värdet \( 2^{11} \).

    2. \( \log_2 32 \)

      \( \log_2 32 = \log_2^5 = 5 \) eftersom vi söker exponenten som 2 höjs upp i för att ha värdet 32.

    3. \( \log_2 \dfrac{1}{16} \)

      \( \log_2 \dfrac{1}{16} = \log_2 2^{-4} = -4 \) eftersom vi söker exponenten som 2 höjs upp i för att ha värdet \( \dfrac{1}{16} \).

    4. \( \log_2 \dfrac{1}{2^{14}} \)

      \( \log_2 \dfrac{1}{2^{14}} = \log_2 2^{-14} = -14 \) eftersom vi söker exponenten som 2 höjs upp i för att ha värdet \( \dfrac{1}{2^{14}} \).

  4. Bestäm \( x \) då
    1. \( \log_3 x+4=0 \)

      \( \log_3 x+4=0 \Leftrightarrow \log_3 x = -4 \Leftrightarrow x=3^{-4} = \dfrac{1}{81} \)

    2. \( \log_6 x=1 \)

      \( \log_6 x=1 \Leftrightarrow x=6^1 = 6 \)

    3. \( 2\log_2 x-1=0 \)

      \( 2\log_2 x-1=0 \Leftrightarrow 2\log_2 x = 1 \Leftrightarrow \log_2 x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \)

    4. \( 3\log_3 x=-2 \)

      \( 3\log_3 x=-2 \Leftrightarrow \log_3 x = -\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 3^{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}} \)

  5. Bestäm definitionsmängden för följande logaritmer.

    Påstående\( x > -1 \)\( x > 0 \)\( x > 1 \)
    \( \log_3 (x+1) \)
    \( \log_7 (x+1) \)
    \( \ln (x-1) \)
    \( \text{lb } x \)
    \( \lg (x-1) \)
    \( \ln x \)

    Påstående\( x > -1 \)\( x > 0 \)\( x > 1 \)
    \( \log_3 (x+1) \)
    \( \log_7 (x+1) \)
    \( \ln (x-1) \)
    \( \text{lb } x \)
    \( \lg (x-1) \)
    \( \ln x \)

  6. Bestäm basen då
    1. \( \log_a 625 = 4 \)

      \( a=5 \) eftersom \( 625 = 5^4 \)

    2. \( \log_a 81 = 4 \)

      \( a=3 \) eftersom \( 81 = 3^4 \)

    3. \( \log_a 1024 = 5 \)

      \( a=4 \) eftersom \( 1024 = 4^5 \)

  7. Bestäm basen då
    1. \( \log_a 16 = 2 \)

      \( a=4 \) eftersom \( 16 = 4^2 \)

    2. \( \log_a 3 = \dfrac{1}{2} \)

      \( a=9 \) eftersom \( 3 = 9^{\frac{1}{2}} \)

    3. \( \log_a 216 = 3 \)

      \( a=6 \) eftersom \( 216 = 6^3 \)

  8. Bestäm
    1. \( \log_5 5^{12} \)

      \( \log_5 5^{12} = 12 \) eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet \( 5^{12} \).

    2. \( \log_5 5^{4} \)

      \( \log_5 5^{4} = 4 \) eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet \( 5^{4} \).

    3. \( \log_5 (5^{12} \cdot 5^4 ) \)

      \( \log_5 (5^{12} \cdot 5^4 = \log_5 (5^{16} = 16 \) eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet \( 5^{16} \).

    4. \( \log_5 \dfrac{5^{12}}{5^4} \)

      \( \log_5 \dfrac{5^{12}}{5^4} = \log_5 5^{8} = 8 \) eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet \( 5^{8} \).

  9. Bestäm
    1. \( \log_5 5^9 \)

      \( \log_5 5^9 = 9 \) eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet \( 5^{9} \).

    2. \( \log_5 (5^9)^3 \)

      \( \log_5 (5^9)^3 = \log_5 5^{27} = 27 \) eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet \( 5^{27} \).

    3. \( \log_5 (5^9)^8 \)

      \( \log_5 (5^9)^8 = \log_5 5^{72} = 72 \) eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet \( 5^{72} \).