11. Logaritmer

Tag och beskriv talen $2$ , $4$ , $5$ , $\sqrt{2}$ och $\dfrac{1}{8}$ som potenser med basen 2.

Logaritmen för talet $a$ är den exponent $x$ som basen $b$ måste upphöjas i för att ha samma värde som $a$ .

$a=b^x$

För talet 1000 gäller att logaritmen är 3 i basen 10 eftersom $1000=10^3$ .

Vi kan skriva det som $y=b^x \Leftrightarrow x=\log_b(y)$ . Där $b$ och $y$ är positiva och $b\not=1$ .

Till exempel är $4^3 = 64$ , det betyder att för talet 64 är logaritmen 3 i basen 4. Det kan vi skriva som $3=\log_4 (64)$ .

Logaritmer introducerades av John Napier för att göra uträkningar simplare. I dagens läge med datorer så är nyttan inte lika stor som på tidigt 1600-tal men ännu används logaritmer då vi bestämmer pH hos ämnen eller då vi bestämmer ljudstyrkan.

Exempel 1 Bestäm logaritmen med basen 6 då

$6^9$ . Eftersom vi höjer talet 6 i 9 är basen 6 och exponenten 9. Logaritmen med basen 6 är 9.
$216$ . Talet $216 = 6^3$ . Logaritmen med basen 6 av talet 216 är 3.
$1$ . 1 kan vi skriva som $1=6^0$ . Logaritmen med basen 6 av talet 1 är 0.
$\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ . $\dfrac{1}{\sqrt{6}}=6^{-\dfrac{1}{2}}$ . Logaritmen med basen 6 av talet $\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ är $- \dfrac{1}{2}$ .

När vi har logaritmer har vi vissa baser som används mera än andra. De baserna är $2$ , $e$ och $10$ .

Basen	Kallas för	Logaritmen betecknas	Används i
2	Binär logaritm	$\textrm{lb}$	Dataveteskaper, informationsteknologi, fotografering, musikteori
e	Naturlig logaritm	$\ln$	Naturvetenskaper (matematik, fysik, kemi), statistik, ekonomi, informationsteknologi
10	Allmän logaritm	$\lg$	Logaritmiska tabeller, decibelskalan, Richterskalan, spektroskopi

Exempel 2 Bestäm $\lg 2x-1=0$ .

Lösning

Logaritmen är definierad då $2x > 0 \Leftrightarrow x > 0$ .

$\lg 2x - 1=0 \Leftrightarrow \lg 2x = 1 \Leftrightarrow \lg 2x = \lg 10^1$ som ger oss att $2x=10 \Leftrightarrow x=5$ .

Sambandet mellan potenser och logaritmer är följande

$y=b^x \Leftrightarrow x=\log_b(y)$ , där $b$ och $x$ är positiva och $b\not=1$ .

För logaritmer gäller följande specialfall:

$\log_a 1 =0$ eftersom $a^0=1$
$\log_a a =1$ eftersom $a^1=a$

Uppgifter

Välj rätt alternativ så att logaritmen med basen 3 stämmer då

Kom ihåg att $81=3^4$ . Logaritmen i basen 3 av talet 81 är 4.

Påstående	$-7$	$-3$	$-1$	$0$	$5$	$6$
$3^5$
$729$
$1$
$\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{1}{27}$
$\dfrac{1}{3^7}$

Påstående	$-7$	$-3$	$-1$	$0$	$5$	$6$
$3^5$
$729$
$1$
$\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{1}{27}$
$\dfrac{1}{3^7}$

$3^5$ , 5
$729=3^6$ , 6
$1=3^0$ , 0
$\dfrac{1}{3} =3^{-1}$ , $-1$
$\dfrac{1}{27} =3^{-3}$ , $-3$
$\dfrac{1}{3^7} =3^{-7}$ , $-7$

Kombinera så att logaritmen med basen 5 blir rätt då

Tex $3125 = 5^5$ . Logaritmen av talet 3125 i basen 5 är 5.

Påstående	$-2$	$-1$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$3$	$4$
$625$
$\sqrt{5}$
$\dfrac{1}{25}$
$\dfrac{1}{5}$
$125$
$1$

Påstående	$-2$	$-1$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$3$	$4$
$625$
$\sqrt{5}$
$\dfrac{1}{25}$
$\dfrac{1}{5}$
$125$
$1$

$625=5^4$ , 4
$125=5^3$ , 3
$1=5^0$ , 0
$\dfrac{1}{5}=5^{-1}$ , $-1$
$\dfrac{1}{25}=5^{-2}$ , $-2$
$\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}$ , $\dfrac{1}{2}$

Bestäm värdet av följande uttryck.
1. $\log_2 2^{11}$
  
  $\log_2 2^{11} = 11$ eftersom vi söker exponenten som 2 höjs upp i för att ha värdet $2^{11}$ .
2. $\log_2 32$
  
  $\log_2 32 = \log_2^5 = 5$ eftersom vi söker exponenten som 2 höjs upp i för att ha värdet 32.
3. $\log_2 \dfrac{1}{16}$
  
  $\log_2 \dfrac{1}{16} = \log_2 2^{-4} = -4$ eftersom vi söker exponenten som 2 höjs upp i för att ha värdet $\dfrac{1}{16}$ .
4. $\log_2 \dfrac{1}{2^{14}}$
  
  $\log_2 \dfrac{1}{2^{14}} = \log_2 2^{-14} = -14$ eftersom vi söker exponenten som 2 höjs upp i för att ha värdet $\dfrac{1}{2^{14}}$ .
Bestäm x då
1. $\log_3 x+4=0$
  
  $\log_3 x+4=0 \Leftrightarrow \log_3 x = -4 \Leftrightarrow x=3^{-4} = \dfrac{1}{81}$
2. $\log_6 x=1$
  
  $\log_6 x=1 \Leftrightarrow x=6^1 = 6$
3. $2\log_2 x-1=0$
  
  $2\log_2 x-1=0 \Leftrightarrow 2\log_2 x = 1 \Leftrightarrow \log_2 x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$
4. $3\log_3 x=-2$
  
  $3\log_3 x=-2 \Leftrightarrow \log_3 x = -\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 3^{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}}$

Bestäm definitionsmängden för följande logaritmer.

Påstående	$x > -1$	$x > 0$	$x > 1$
$\log_3 (x+1)$
$\log_7 (x+1)$
$\ln (x-1)$
$\text{lb } x$
$\lg (x-1)$
$\ln x$

Påstående	$x > -1$	$x > 0$	$x > 1$
$\log_3 (x+1)$
$\log_7 (x+1)$
$\ln (x-1)$
$\text{lb } x$
$\lg (x-1)$
$\ln x$

Bestäm basen då
1. $\log_a 625 = 4$
  
  $a=5$ eftersom $625 = 5^4$
2. $\log_a 81 = 4$
  
  $a=3$ eftersom $81 = 3^4$
3. $\log_a 1024 = 5$
  
  $a=4$ eftersom $1024 = 4^5$
Bestäm basen då
1. $\log_a 16 = 2$
  
  $a=4$ eftersom $16 = 4^2$
2. $\log_a 3 = \dfrac{1}{2}$
  
  $a=9$ eftersom $3 = 9^{\frac{1}{2}}$
3. $\log_a 216 = 3$
  
  $a=6$ eftersom $216 = 6^3$
Bestäm
1. $\log_5 5^{12}$
  
  $\log_5 5^{12} = 12$ eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet $5^{12}$ .
2. $\log_5 5^{4}$
  
  $\log_5 5^{4} = 4$ eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet $5^{4}$ .
3. $\log_5 (5^{12} \cdot 5^4 )$
  
  $\log_5 (5^{12} \cdot 5^4 = \log_5 (5^{16} = 16$ eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet $5^{16}$ .
4. $\log_5 \dfrac{5^{12}}{5^4}$
  
  $\log_5 \dfrac{5^{12}}{5^4} = \log_5 5^{8} = 8$ eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet $5^{8}$ .
Bestäm
1. $\log_5 5^9$
  
  $\log_5 5^9 = 9$ eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet $5^{9}$ .
2. $\log_5 (5^9)^3$
  
  $\log_5 (5^9)^3 = \log_5 5^{27} = 27$ eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet $5^{27}$ .
3. $\log_5 (5^9)^8$
  
  $\log_5 (5^9)^8 = \log_5 5^{72} = 72$ eftersom vi söker exponenten som 5 höjs upp i för att ha värdet $5^{72}$ .