4. Ekvationssystem
Hittils har du lärt dig om grunderna för vektorer, vad en vektor är, hur vi adderar och subraherar dem och vad som händer då vi multiplicerar ett tal med en vektor.
Före vi kan fortsätta att dyka vidare måste vi lära oss att lösa ekvationssystem. Med hjälp av ekvationssystem kan vi bestämma gemensamma punkter för linjer och funktioner.
I kurs 2 arbetade vi med att söka skärningspunkter mellan två linjer. Då gjorde vi det endast på räknare. Till nästa repeterar vi lite gammalt och lär oss hur vi hittar skärningspunkter utan räknare.
Bestäm de talpar som satisfierar ekvationen \(x+y=5\).
Alla de talpar som satisfierar ekvationen är en lösning för ekvationen. När vi ritar ut de talpar i ett koordinatystem får vi grafen av funktionen. Eftersom evkationer som har två variabler, tex \(2x+y=1\) har oändligt många lösningar talar vi om diofantiska ekvationer.
Hur är det då då vi söker gemensamma punkter för ekvationerna \(x+y=5\) och \(y-x=1\).
Lösning
Talpar som satisfierar \(x+y= 5\) var bland annat
| x | y |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 3 |
| 3 | 2 |
| 4 | 1 |
Talpar som satisfierar \(y-x=1\) är bland annat
| x | y |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
Vi märker att ett gemensamt talpar är punkten \((2,3)\). Finns det andra? Det vet vi inte eftersom vi har tabellerat fram lösningarna.
För att visa att de är de enda måste vi lösa ekvationssytemet
\(\left\{ \begin{array}{rcl} x+y& = & 5\\ y-x& = & 1\\ \end{array} \right.\)
Det gör vi till nästa.
Börja med punkter på linje, gå vidare till gemensamma punkter, ekvationssystem.pdf.
Exempel 1 Lös ekvationssystemet
\(\left\{ \begin{array}{rcl} x+y& = & 5\\ -2x+y& = & -1\\ \end{array} \right.\)
med hjälp av additionsmeteoden.
Alltid går det inte så lätt att eliminera bort en variabel. Då är det lättare att slå ihop ekvationerna.
Exempel 2 Lös ekvationssystemet
\(\left\{ \begin{array}{rcl} -x+y & = & 2\\ -2x+y& = & -1\\ \end{array} \right.\)
med substitutionsmetoden
Exempel 3 Lös ekvationen
\( \left\{ \begin{array}{rcl} 3x -2y +z & = & -13 \\ x + 4y -2z & = & 12 \\ 2x - 2y -5z & = & -5 \\ \end{array} \right. \)
Löses på GeoGebra
Löses på TI-CAS
Då du löser ekvationssystem utan räknare använder du dig antingen av additionsmetoden eller substitutionsmetoden. I additionsmetoden skall du genom att addera ihop ekvationerna eliminera en variabel. I substitutionsmetoden skall du ersätta variabeln från den ena ekvationen i den andra ekvationen.
Uppgifter
Satisfierar följande talpar ekvationen \(x-y=6\)?
Påstående Ja Nej \((7,1)\) \((6,2)\) \((4,-2)\) \((1,-4)\) \((2,-5)\) \((-1,-7)\) Påstående Ja Nej \((7,1)\) \((6,2)\) \((4,-2)\) \((1,-4)\) \((2,-5)\) \((-1,-7)\) Kombinera rätt ekvation med rätt graf av ekvationen.
Välj bland följande ekvationer:
\(x-y=-1\)\(x+y=-1\)\(-2x+y=-2\)\(-x+y=-2\)\(x+y=3\)\(2x+y=3\)Ekvation Graf 
Ekvation Graf \(x-y=-1\) \(2x+y=3\) \(x+y=-1\) \(x+y=3\) \(-x+y=-2\) \(-2x+y=-2\) - Lös följande ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden. Räkna för hand och kontrollera svaret med hjälp av räknarprogram.
\(\left\{ \begin{array}{rcl} x-y & = & -1 \\ x+y & = & 3\\ \end{array} \right.\)
Vi får
\(\left\{ \begin{array}{rcl} x-y & = & -1 \\ x+y & = & 3\\ \end{array} \right.\) \(\begin{array}{rcl} \hline 2x & = & 2 \\ x& = & 1 \end{array}\) \(y\) får vi genom insättning, \(1+y=3 \Leftrightarrow y=2\).
Skärningspunkten är \((1,2)\).
\(\left\{ \begin{array}{rcl} -x+y & = & -2 \\ -2x+y& = & -2 \\ \end{array} \right.\)
Vi får
\(\left\{ \begin{array}{rclr} -x+y & = & -2 &\mid \cdot(-1)\\ -2x+y& = & -2 \\ \end{array} \right.\)
som är
\(\left\{ \begin{array}{rclr} x-y & = & 2 \\ -2x+y& = & -2 \\ \end{array} \right.\) \(\begin{array}{rcl} \hline -x & = & 0 \\ \end{array}\) \(x\)-koordinaten är 0, \(y\)-koordinaten är då \(0+y=-2\).
Skärningspunkten är \((0,-2)\).
- \(\left\{ \begin{array}{rcl} 2x + y& = & 3 \\ x+y& = & -1\\ \end{array} \right.\)
Vi får
\(\left\{ \begin{array}{rclr} 2x + y& = & 3 \\ x+y& = & -1 &\mid \cdot(-1)\\ \end{array} \right.\)
Alltså
\(\left\{ \begin{array}{rcl} 2x + y& = & 3 \\ -x-y& = & 1\\ \end{array} \right.\) \(\begin{array}{rcl} \hline x& = & 4 \end{array}\) Då \(x=4\) är \(y\)-koordinaten \(4+y=-1 \Leftrightarrow y=-5\).
Skärningspunkten är \((4,-5)\).
- Lös följande ekvationssystem med hjälp av substitutionsmetoden. Räkna för hand och kontrollera svaret med hjälp av räknarprogram.
- \(\left\{ \begin{array}{rcl} 2x -3y & = & 4 \\ x+y & = & 2\\ \end{array} \right.\)
Vi kan till exempel lösa uppgiften på följande sätt:
Ekvationen \(x+y=2\Leftrightarrow x=2-y\).
Den sätter vi in i \(2x-3y=4 \Leftrightarrow 2(2-y)-3y=4\) och löser ut att \(y=0\).
Då \(y=0\) får vi att \(x+0=2\), alltså \(x=2\).
Skärningspunkten är \((2,0)\).
- \(\left\{ \begin{array}{rcl} 2x-y& = & -6 \\ x-y& = & -4 \\ \end{array} \right.\)
Vi kan till exempel lösa ekvationssystemet på följande sätt:
\(x-y=-4 \Leftrightarrow x=y-4\) som vi substituerar in i \(2x-y=-6\).
Vi får \(2(y-4)-y=-6\) som har lösningen \(y=2\).
Då \(y=-2\) gäller att \(x-2=-4 \Leftrightarrow x=-2\).
Skärningspunkten är \((-2,2)\).
- \(\left\{ \begin{array}{rcl} 3x-y & = & 8 \\ 2x-2y & = & 4\\ \end{array} \right.\)
Vi kan till exempel lösa ekvationssystemet på följande sätt:
\(2x-2y=4 \Leftrightarrow y=x-2\).
Alltså \(3x-(x-2)=8 \Leftrightarrow x=3\).
Då \(x=3\) är \(y=3-2=1\).
Skärningspunkten är \((3,1)\).
- \(\left\{ \begin{array}{rcl} 2x -3y & = & 4 \\ x+y & = & 2\\ \end{array} \right.\)
- Bestäm
- den gemensamma punkten för \(20x+25y =860\) och \(-5x+16y=230\).
Räknaren ger \((18,20)\).
- skärningspunkten för \(f(x)=-x+100\) och \(g(x)=-4x+220\).
Vi löser ekvationssystemet
\(\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & -x+100\\ y & = & -4x +220 \end{array} \right.\)
som har lösningen \((40,60)\). Denna punkt är skärningspunkten.
- Skärningspunkterna för \(f(x)=x^2-6x+4\) och \(y=2x-3\).
Vi löser ekvationssystemet
\(\left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x^2-6x+4\\ y& = & 2x-3 \end{array} \right.\)
som har lösningarna \((1,-1)\) och \((7,11)\).
- den gemensamma punkten för \(20x+25y =860\) och \(-5x+16y=230\).
- Bestäm
lösningen för
\(\left\{ \begin{array}{rcl} 4 & = & 2r+2s+2t \\ -1 & = & -3r+2s-t \\ 7 & = & 2r +4s +3t \\ \end{array} \right.\).
Lättast går det genom att anväda dig av räknare. En blandning av additions- och substitutionsmetoden går även bra.
\(r=-2\), \(s=-1\) och \(t=5\).
den gemensamma punkten \((x,y,z)\) för
\(\left\{ \begin{array}{rcl} 3x +2y+z & = & 1 \\ -2x+2y & = & -8 \\ -x -2y +z & = & -3 \\ \end{array} \right.\).
Vi kan lösa ekvationssystemet
\(\left\{ \begin{array}{rcl} 3x +2y+z & = & 1 \\ -2x+2y & = & -8 \\ -x -2y +z & = & -3 \\ \end{array} \right.\)
antingen med hjälp av en kombination av substitutions- och additionsmetoden eller på räknare.
Punkten är \((2,5;-1,5;-3,5)\).
Placera uträkningarna i rätt ordning så att uträkningarna är logiska.
\(\left\{ \begin{array}{rcll} 4x +7y & = & 37 \\ -4x+2y & = & -10 \\ \end{array} \right.\)Då \(y=3\) gäller att \(2x-3=5\)\(\begin{array}{rcll} \hline 9y & = & 27 \\ \end{array}\)\(\left\{ \begin{array}{rcll} 4x +7y & = & 37 \\ 2x-y & = & 5 &\mid \cdot (-2) \\ \end{array} \right.\)\(\begin{array}{rcll} y & = & 3 \\ \end{array}\)\(\left\{ \begin{array}{rcll} 4x +7y & = & 37 \\ 2x-y & = & 5 \\ \end{array} \right.\)Alltså \(x=4\).\(\Leftrightarrow 2x=8\)Punkten är \((4,3)\).Uträkning Ordning 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Uträkning Ordning \(\left\{ \begin{array}{rcll} 4x +7y & = & 37 \\ 2x-y & = & 5 \\ \end{array} \right.\) 1. \(\left\{ \begin{array}{rcll} 4x +7y & = & 37 \\ 2x-y & = & 5 &\mid \cdot (-2) \\ \end{array} \right.\) 2. \(\left\{ \begin{array}{rcll} 4x +7y & = & 37 \\ -4x+2y & = & -10 \\ \end{array} \right.\) 3. \(\begin{array}{rcll} \hline 9y & = & 27 \\ \end{array}\) 4. \(\begin{array}{rcll} y & = & 3 \\ \end{array}\) 5. Då \(y=3\) gäller att \(2x-3=5\) 6. \(\Leftrightarrow 2x=8\) 7. Alltså \(x=4\). 8. Punkten är \((4,3)\). 9. Placera uträkningarna i rätt ordning så att uträkningarna blir logiska. Välj bland följande:
Då \(x=-2\) gäller att \(y=-2(-2)-3=1\).\(\begin{array}{rcll} -\dfrac{5}{2}x & = & 5 &\mid \cdot (-\dfrac{2}{5})\\ \end{array}\)\(\left\{ \begin{array}{rcll} y & = & -2x-3 \\ y & = & \frac{1}{2}x+2\\ \end{array} \right.\)\(\begin{array}{rcll} x & = & -2 \\ \end{array}\)Skärningspunkten är \((-2,1)\).Alltså \(\begin{array}{rcll} -2x -3 & = & \dfrac{1}{2}x+2\\ \end{array}\)Uträkning Ordning 1. 2. 3. 4. 5. 6. Uträkning Ordning \(\left\{ \begin{array}{rcll} y & = & -2x-3 \\ y & = & \frac{1}{2}x+2\\ \end{array} \right.\) 1. Alltså
\(\begin{array}{rcll} -2x -3 & = & \dfrac{1}{2}x+2\\ \end{array}\)
2. \(\begin{array}{rcll} -\dfrac{5}{2}x & = & 5 &\mid \cdot (-\dfrac{2}{5})\\ \end{array}\) 3. \(\begin{array}{rcll} x & = & -2 \\ \end{array}\) 4. Då \(x=-2\) gäller att \(y=-2(-2)-3=1\). 5. Skärningspunkten är \((-2,1)\). 6. - Bestäm skärningspunkterna för \(f(x)=x^2-1\) och \(g(x)=x+1\).
Vi löser
\(\left\{\begin{array}{rcl} y & = & x^2-1 \\ y & = & x+1 \\ \end{array} \right.\)
på räknarprogram eller med hjälp av substitutionsmetoden.
Lösningarna är \((-1,0)\) och \((2,3)\).
- Bestäm skärningspunkterna för \(f(x)=x^2-2x\) och \(g(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x+\dfrac{3}{2}\).
Vi löser ekvationssystemet
\(\left\{ \begin{array}{rcl} y& = & x^2-2x \\ y& = & \dfrac{1}{2}x^2-x+\dfrac{3}{2}\\ \end{array} \right.\)
med hjälp av räknarprogram eller genom substitutionsmetoden.
Skärningspunkterna är \((-1,3)\) och \((3,3)\).
- För vilket värde på \(a\) saknar ekvationssystemet
\(\left\{ \begin{array}{rcl} y& = & 2x-1 \\ y& = & ax+2 \end{array} \right.\)
lösningar?
Eftersom vi har två linjer gäller det att om ekvationssystemet skall sakna lösningar så skall linjerna vara parallella.
Linjerna är parallella då linjerna har samma riktningskoefficient. Alltså då \(a=2\).
För vilket värde på \(a\) saknar ekvationssystemet
\(\left\{ \begin{array}{rcl} y& = & x^2-2x \\ y& = & ax-4 \end{array} \right.\)
lösningar?
Vi får att \(x^2-2x=ax-4 \Leftrightarrow x^2 +(-2-a)x+4=0\).
Eftersom ekvationssystemet skall sakna lösningar gäller det att diskriminanten \(D=b^2-4ac\) skall var negativ.
Alltså \((-2-a)^2-4\cdot 1 \cdot 4 < 0\).
Vi får att \(a^2+4a-12<0\). Som du kan lösa på räknare eller för hand.
Ekvationen \(a^2+4a-12 =0\) har lösningarna \(a_1 =-6\) och \(a_2=2\).
Eftersom vi har (\(a^2+4a-12 < 0\), en parabeln som öppnar sig uppåt gäller det att den är negativ mellan nollställena.
Alltså ekvationssystemet saknar lösningar då \(-6<a<2\).
- För vilket värde på \(a\) har \(f(x)=x^2+2x+2\) och \(g(x)=ax^2\) gemensamma punkter?
Vi skall lösa ekvationssytemet
\(\left\{ \begin{array}{rcl} y& = & x^2-2x+2 \\ y& = & ax^2 \\ \end{array} \right.\)
Alltså \(x^2-2x+2 = ax^2 \Leftrightarrow (1-a)x^2-2x+2 =0\).
Vi har en andragradsekvation som skall ha lösningar. Det betyder att diskriminanten \(D=b^2-4ac \geq 0\).
Vi får
\(\begin{array}{rcl} (-2)^2-4(1-a)\cdot 2 &\geq & 0 \\ 4-8+4a &\geq & 0 \\ 8a &\geq & 4 \\ a &\geq & \frac{1}{2} \\ \end{array}\)
Alltså då \(a \geq \dfrac{1}{2}\).