3. Ekvationer och olikheter med absolutbelopp

Vilka tal satisfierar ekvationen \( \mid x-1 \mid =4 \)

Lösning

Vi ser grafiskt på ekvationen.

Per definition är

\( \begin{array}{rcr} x-1 = 4 & \text{ och } & -(x-1)=4\\ \underline{\underline{x=5}} & & x-1=-4 \\ & & \underline{\underline{x=-3}} \\ \end{array} \)

Eller så kan vi lösa ekvationen genom att kvadrera bägge led. Vi kan kvadrera eftersom bägge led är positiva.

\( \begin{array}{rrcll} & \mid x-1 \mid & = & 4 \quad\text{Vi kvadrerar bägge led eftersom de är positiva.} \\ \text{och vi får då att: } & (x-1)^2 & = & 4^2 & \\ & x^2-2x+1 & = & 16 & \\ & x^2-2x-15 & = & 0 & \\ \end{array} \)

Rotformeln ger:

\( \begin{array}{rrcll} & x & = & \dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 (-15)}}{2\cdot 1}\\ & & = & \dfrac{2\pm \sqrt{64}}{2} \\ \\ & & = & \dfrac{2\pm 8}{2} \\ & x_1 = \dfrac{2+8}{2}=5 & \text{ och } & x_2=\dfrac{2-8}{2}=-3 & \\ \end{array} \)

Vi får alltså samma rötter oberoende om vi arbetar vi definitionen eller om vi kvadrerar.

Exempel 1 För vilka värden på \( x \) gäller att \( \mid x-3 \mid < 7 \)?

Lösning

Vi löser den på två olika sätt.

Vi söker de värden på \( x \) så att avståndet är mindre än 7. Per definitionen kan vi skriva det som dubbelolikheten

\( \begin{array}{cl} -7 < x-3 < 7 & \mid +3 \text{ Vi manipulerar hela olikheten med samma tal}\\ -7+3 < x-3+3 < 7+3 \\ -4 < x < 10 \\ \end{array} \)

Eller så kan vi lösa den genom att kvadrera:

\( \begin{array}{rrcll} & \mid x-3 \mid & < & 7 & \mid (\quad)^2 \quad \text{Bägge led positiva.} \\ & (x-3)^2 & < & 7^2 & \\ & x^2-6x+9 & < & 49 \\ & x^2-6x-40 & < & 0 \\ \end{array} \)

Vi studerar hur parabeln beter sig genom att lösa nollställena.

\( \begin{array}{rrcll} & x & = & \dfrac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 (-40)}}{2\cdot 1} \\ \\ & & = & \dfrac{6\pm 14}{2} \\ & x_1 & = & \dfrac{6+14}{2} = 10 \\ & x_2 & = & \dfrac{6-14}{2}= -4 \\ \end{array} \)

Vi har en parabel som öppnar sig uppåt

Svar: \( -4 < x < 10 \)

Exempel 2 Bestäm \( \mid 1-x\mid > 3 \).

Lösning

Eftersom avståndet skall vara större än 3 kan vi inte lösa det som en dubbelolikhet. Vi delar upp den i två led:

\( \begin{array}{rclcrcl} 1-x & > & 3 & \text{ och } & -(1-x) & > & 3 \\ -x & > & 2 & & -1+x & > & 3 \\ x & < & -2 & & x & > & 4 \\ \end{array} \)

När vi kombinerar bägge led får vi att \( x < -2 \) eller \( x > 4 \) uppfyller olikheten.

Exempel 3 Lös ekvationen \( \mid 2x-1\mid =\mid x +1 \mid \).

Lösning

Alternativ 1:

Per definition får vi att:

\( \begin{array}{rcl} 2x-1 & = & x+1 \\ x & = & 2 \\ \text{och att: } 2x-1 & = & -(x-1) \\ 2x-1 & = & -x-1 \\ 3x & = & 0 \\ x & = & 0 \\ \end{array} \)

Alltså \( x = 0 \) eller \( x = 2 \).

Alternativ 2:

\( \begin{array}{rcll} \mid 2x-1 \mid & = & \mid x+1 \mid & \mid (\quad)^2, \text{Bägge leden positiva.} \\ (2x-1)^2 & = & (x+1)^2 \\ 4x^2-4x+1 & = & x^2+2x+1 \\ 3x^2 -6x & = & 0 \\ 3x(x-2) & = & 0 \\ \text{Nollregeln: } \\ 3x=0 & \text{ eller } & x-2=0 \\ \underline{\underline{x=0}} & & \underline{\underline{x=2}}\\ \end{array} \)

Ekvationer med absolutbelopp på GeoGebra

Vi löser följande olikheter och ekvationer på GeoGebra.

\( \mid x-5 \mid < 9 \)
\( \mid 2x-1 \mid = \mid x+4 \mid \)

Exempel 4 För vilka värden på \( x \) gäller att \( \mid x-1 \mid > 2x+1 \)?

Lösning

Alternativ 1:

Vi arbetar med definitionen och då kan vi skriva

\( \mid x-1\mid \left\{ \begin{array}{rl} x-1 & ,\text{ då } x \geq 1 \\ -(x-1) & ,\text{ då } x < 1 \\ \end{array} \right. \)

Vi får att

då \( x \leq 1 \):

\( \begin{array}{rcll} x-1 & > & 2x+1 \\ -x & > & 2 & \mid \cdot(-1) \text{ Riktningen byts!}\\ x & < & -2 & \text{ som inte uppfylls då } x \geq 1 \\ \end{array} \)

då \( x < 1 \) :

\( \begin{array}{rcll} -(x-1) & > & 2x +1 \\ -x+1 & > & 2x+1 \\ -3x & > 0 & \mid /-3 \text{ Riktningen byts!} \\ x & < 0 & \text{som uppfylls.} \end{array} \)

Svar: \( x < 0 \)

Alternativ 2:

Vi kvadrerar fastän bägge led inte är positiva.

\( \begin{array}{rcll} \mid x-1 \mid & > & 2x+1 & \mid (\quad)^2\\ (x-1)^2 & > & (2x+1)^2 \\ x^2-2x+1 & > & & 4x^2+4x+1 \\ -3x^2 -6x & < & 0 \\ \end{array} \)

Nollställen får vi via ekvationen:

\( \begin{array}{rcll} -3x(x+2) & = & 0 \\ -3x=0 & \text{ eller } & x+2=0 \\ x=0 & & x=-2 \\ \end{array} \)

Eftersom bägge led inte var positiva när vi kvadrerade kan vi få in falska rötter. Det som vi gör är att testa rötterna.

\( x=0 \):

\( \begin{array}{rcl} \mid 0-1\mid & = & 2\cdot 0 +1\\ \mid -1 \mid & = & 1 \\ 1 & = & 1 \text{ Stämmer!}\\ \end{array} \)

\( x=-2 \):

\( \begin{array}{rcl} \mid -2-1 \mid & = & 2(-2)+1 \\ \mid -3 \mid & = & -4+1 \\ 3 & = & -3 \text{ Som inte stämmer!} \end{array} \)

Vi har en parabel som öppnar sig neråt, \( -3x^2-6x \), med endast en rot, \( x=0 \) och utrycket är positivt då \( x < 0 \).

Olikheter på GeoGebra

Som det sista tar vi ännu och tittar på hur GeoGebra behandlar olikheten ovan.

Uppgifter

Lös ekvationerna
1. \( \mid x+1 \mid =5 \)
  
  \( \mid x+1 \mid =5 \) betyder att \( x+1=5 \Leftrightarrow x=4 \) och \( -(x+1)=5 \Leftrightarrow x=-6 \).
2. \( \mid2x-1 \mid =1 \)
  
  \( \mid2x-1 \mid =1 \) ger att \( 2x-1=1 \Leftrightarrow x=1 \) och \( -(2x-1)=1 \Leftrightarrow x=0 \).
3. \( \mid \dfrac{1}{2}x-2 \mid =3 \)
  
  \( \mid \dfrac{1}{2}x-2 \mid =3 \) betyder att \( \dfrac{1}{2}x-2=3 \Leftrightarrow x=10 \) och \( -(\dfrac{1}{2}x-2)=3 \Leftrightarrow x=-2 \).
Lös ekvationerna
1. \( \mid 3x-5 \mid = 7 \)
  
  \( \mid 3x-5 \mid = 7 \) betyder att \( 3x-5 = 7 \) som har lösningen \( x=-\dfrac{2}{3} \)
  
  och \( -(3x-5) = 7 \) som har lösningen \( x=4 \).
2. \( \mid 11 - x \mid = 14 \)
  
  \( \mid 11 - x \mid = 14 \) betyder att \( 11-x = 14 \) som har lösningen \( x=25 \)
  
  och \( -(11-x) = 14 \) som har lösningen \( x=-3 \).
3. \( \mid 1 - 6x \mid -3 = 0 \)
  
  \( \mid 1 - 6x \mid -3 = 0 \) är samma som \( \mid 1 - 6x \mid = 3 \).
  
  \( \mid 1-6x \mid = 3 \) betyder att \( 1-6x = 3 \) som har lösningen \( x=-\dfrac{1}{3} \)
  
  och \( -(1-6x) = 3 \) som har lösningen \( x=\dfrac{2}{3} \).
Lös olikheterna
1. \( \mid x +1 \mid < 5 \)
  
  Vi jobbar med en dubbelolikhet.
  
  \( \begin{array}{rcll} & \mid x +1 \mid & < 5 \\ -5 < & x+1 & < 5 & \mid -1 \\ -6 < & x & < 4 \\ \end{array} \)
2. \( \mid 1-x\mid > 7 \)
  
  \( \mid 1-x \mid > 7 \) betyder att \( 1-x > 7 \) alltså \( x < -6 \)
  
  och att \( -(1-x) > 7 \) alltså \( x > 8 \).
3. \( \mid 2x-1\mid < 2 \)
  
  Vi jobbar med en dubbelolikhet.
  
  \( \begin{array}{rcll} & \mid 2x -1 \mid & < 2 \\ -2 < & 2x-1 & < 2 & \mid +1 \\ -1 < & 2x & < 3 & \mid /2 \\ -\dfrac{1}{2}< & x & < \dfrac{3}{2} \end{array} \)
Lös olikheterna
1. \( \mid 12x + 5 \mid < 7 \)
  
  Vi jobbar med en dubbelolikhet.
  
  \( \begin{array}{rcll} & \mid 12x + 5 \mid & < 7 \\ -7 < & 12x + 5 & < 7 & \mid - 5 \\ -12 < & 12x & < 2 & \mid /12 \\ -1 < & x & < \dfrac{1}{6} \\ \end{array} \)
2. \( \mid 7 - 2x \mid < 7 \)
  
  Vi jobbar med en dubbelolikhet.
  
  \( \begin{array}{rcll} & \mid 7 - 2x \mid & < 7 \\ -7 < & 7 - 2x & < 7 & \mid -7 \\ -14 < & - 2x & < 0 & \mid /-2 \\ 7 > & x & > 0 \\ \end{array} \)
  
  Alltså \( 0 < x < 7 \).
3. \( \mid x + 5 \mid > 7 \)
  
  \( \mid x +5 \mid > 7 \) betyder att \( x+5 > 7 \) alltså \( x > 2 \)
  
  och att \( -(x+5) > 7 \) alltså \( x < -12 \).
Lös ekvationerna
1. \( \mid 3x-4 \mid = \mid x \mid \)
  
  \( \mid 3x-4\mid = \mid x \mid \) löser vi genom att kvadrera.
  
  \( \mid 3x-4\mid^2 = \mid x \mid^2 \) alltså \( (3x-4)^2 = (x)^2 \) som har rötterna 1 och 2.
2. \( \mid x+1\mid = \mid x-1\mid \)
  
  Eftersom \( \mid x+1\mid = \mid x-1\mid \) är positiva kan vi kvadrera.
  
  Vi får \( \mid x+1 \mid^2 = \mid x-1\mid^2 \Leftrightarrow x=0 \).
3. \( \mid 3x + 4 \mid = \mid x - 1 \mid \)
  
  Eftersom bägge led är positiva tar vi och kvadrerar.
  
  \( \begin{array}{rcll} \mid 3x + 4 \mid & = & \mid x - 1 \mid & \mid (\quad)^2 \\ (3x + 4)^2 & = & (x - 1)^2 \\ 9x^2 +24 x + 16 & = & x^2 -2x +1 \\ 8x^2 + 26x + 15 & = & 0 \\ \end{array} \)
  
  Rotformeln ger oss \( x_1 = -\dfrac{5}{2} \) och \( x_2 = -\dfrac{3}{4} \).
Lös ekvationerna
1. \( \mid x+1\mid = x-1 \)
  
  Eftersom vi har ett absolutbelopp och ett normalt polynomuttryck måste vi jobba med definitionen.
  
  \( x + 1 = 0 \) då \( x = -1 \). Vi får att
  
  \( \mid x +1 \mid = \left\{ \begin{array}{ll} x + 1 & \text{ , då } x \geq -1 \\ -(x + 1) & \text{ , då } x < -1 \\ \end{array} \right. \)
  
  Då \( x \geq -1 \) får vi \( x+1 = x-1 \) som saknar lösningar.
  
  Då \( x < -1 \) får vi \( -(x+1) = x-1 \) som har lösningen \( x = 0 \). Men eftersom \( x < -1 \) duger inte roten.
  
  Alltså saknar ekvationen lösningar.
2. \( x=2\mid x-3 \mid \)
  
  Eftersom vi har ett absolutbelopp och ett normalt polynomuttryck måste vi jobba med definitionen.
  
  \( x - 3 = 0 \) då \( x = 3 \). Vi får att
  
  \( \mid x-3 \mid = \left\{ \begin{array}{ll} x-3 & \text{ , då } x \geq 3 \\ -(x-3) & \text{ , då } x < 3 \\ \end{array} \right. \)
  
  Då \( x \geq 3 \) får vi \( x=2(x-3) \) som har roten \( x = 6 \).
  
  Då \( x < 3 \) får vi \( 2 = 2[-(x-3)] \) som har roten \( x = 2 \).
  
  Vi jämför rötterna med definitionsmängderna och får \( x = 2 \) eller \( x = 6 \).
3. \( \mid 2x \mid = x-2 \)
  
  Eftersom vi har ett absolutbelopp och ett normalt polynomuttryck måste vi jobba med definitionen.
  
  \( 2x = 0 \) då \( x = 0 \). Vi får att
  
  \( \mid 2x \mid = \left\{ \begin{array}{ll} 2x & \text{ , då } x \geq 0 \\ -2x & \text{ , då } x < 0 \\ \end{array} \right. \)
  
  Då \( x \geq 0 \) får vi \( 2x=x-2 \) som har roten \( x = -2 \). Men eftersom \( x \leq 0 \) duger inte roten.
  
  Då \( x < 0 \) får vi \( -2x = x-2 \) som har roten \( x = \dfrac{2}{3} \). Men eftersom \( x < 0 \) duger inte roten.
  
  Ekvationen saknar lösningar.
För vilka värden på \( x \) gäller att \( \mid \dfrac{x}{x-2} \mid = 1 \)?

Vi får fallen \( \dfrac{x}{x-2} = 1 \) och \(\dfrac{x}{x-2} = -1 \).

Eftersom vi har ett rationellt uttryck får nämnaren inte ha värdet noll. \( x -2 = 0 \) då \( x = 2 \). Så alla tal förutom 2 är kandidater för rötter för ekvationen.

\( \begin{array}{rcl} \dfrac{x}{x-2} & = & 1 \\ x & = & x -2 \\ 0x & = & -2 \\ \end{array}\)

Ekvationen saknar lösningar.

och

\( \begin{array}{rcl} \dfrac{x}{x-2} & = & -1 \\ x & = & -(x -2) \\ x & = & -x +2 \\ 2x & = & 2 \\ x & = & 1 \\ \end{array}\)

För ekvationen \( \mid \dfrac{x}{x-2} \mid = 1 \) är lösningen \( x = 1 \).
Lös ekvationen \( x^2-4x+4 = \mid 2x-1 \mid \)

Vi har att \( 2x-1 > 0 \) då \( x > \dfrac{1}{2} \).

Vi får att

\( \mid 2x-1 \mid = \left\{ \begin{array}{ll} 2x-1 & \text{ , då } x \geq \dfrac{1}{2} \\ -(2x-1) & \text{ , då } x < \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \)

Då \( x \geq \dfrac{1}{2} \) får vi \( x^2-4x+4 = 2x-1 \). Rötterna är \( x = 1 \) och \( x = 5 \). Bägge rötterna duger.

Då \( x < \dfrac{1}{2} \) får vi \( x^2-4x+4 = -(2x-1) \) som sakanr rötter.

Alltså är rötterna \( x = 1 \) och \( x = 5 \).
Lös olikheten \( \mid x^2-x-4 \mid < 2 \)

\( \mid x^2-x-4 \mid < 2 \) betyer att \( -2 < x^2-x-4 < 2 \). Vi kan inte lösa den som en dubbelolikhet utan vi får olikheterna \( -2 < x^2-x-4 \) och \( x^2-x-4 < 2 \).

\( -2 < x^2-x-4 \) ger oss \( -x^2 +x +2 < 0 \). Vi löser ekvationen \( -x^2 + x +2 = 0 \) och analyserar rötterna. Vi får att \( x < -1 \) och \( x > 2 \).

\( x^2-x-4 < 2 \) ger oss \( x^2 -x -6 < 0 \). Vi löser ekvationen \( -x^2-x-6 = 0 \) och analyserar rötterna . Vi får att \( -2 < x < 3 \).

Då bägge led skall gälla samtigt skall också alla rötter gälla samtidigt.

Vi får att \( -2 < x < -1 \) eller \( 2 < x < 3 \).
Bestäm för vilka värden på \( x \) gäller att \( \mid 2x-4\mid < x-2 \).

Vi har att \( 2x-4 > 0 \), alltså \( x > 2 \).

Absolutbeloppet delar vi upp enligt definitionen.

\( \mid 2x-4 \mid = \left\{ \begin{array}{ll} 2x - 4 & , \text{då } x \geq 2 \\ -(2x-4) & , \text{då } x < 2 \\ \end{array} \right. \)

Vi delar upp i två fall

Då \( x \geq 2 \) får vi \( 2x-4 < x-2 \) som har lösningen \( x < 2 \). Kriteriet är att \( x \geq 2 \), så lösningen duger inte.

Då \( x < 2 \) har vi \( -(2x-4) < x-2 \) som har lösningen \( x > 2 \). Kriteriet är \( x < 2 \), så lösningen duger inte.

Olikheten saknar lösningar.