9. Blandat

Uppgifter

1. Två reella tal, \( x \) och \( y \), bestäms slumpmässigt ur intervallet [0,3].
   1. Bestäm sannolikheten för att \( x+y > 2 \).

      Lösning

      \( P(x+y > 2) = 1-P(x+y \leq 2) =1 -\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3} =\dfrac{7}{9} = 0,777 \).

   2. Bestäm sannolikheten för att \( x+y > 2 \) och att \( x > y \).

      Lösning

      \( P(x+y > 2 \text{ och } x > y ) = P(x+y > 2) \cdot P(x > y)= \dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{8}{16} =\dfrac{7}{18} =0,389 \).

   3. Bestäm sannolikheten för att \( x+y > 2 \) eller att \( x > y \).

      Lösning

      Den gemensamma arean är då \( x +y > 2 \) och då \( x > y \). \( P(x+y > 2 \text{ eller } x > y ) = P(x+y > 2) + P(x > y)= \dfrac{7}{9} + \dfrac{7}{18} - \dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 3}{16} = 0,979\ldots \).

   4. Bestäm sannolikheten för att varken \( x+y > 2 \) eller att \( x > y \) gäller.

      Lösning

      Vi har det motsatta, komplementet till c).

      \( P(\text{Varken }x+y > 2 \text{ eller } x > y ) = 1-(P(x+y > 2) +P(x > y))= \\ 1-(\dfrac{7}{9} + \dfrac{7}{18}-\dfrac{3}{16}) = 1-0,979\ldots = 0,031\ldots \).

2. Bestäm sannolikheten för följande pokerhänder. Vi drar 5 st kort utan att lägga tillbaka dem i packen.
   1. fullt hus, 3 kort av samma valör och 2 av samma valör.

      Lösning

      \( \dfrac{52\cdot 3\cdot 2 \cdot 48\cdot 3}{52\cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} = 0,000144058 \)

   2. par, två kort av samma valör och resten skall inte vara lika.

      Lösning

      \( \dfrac{52\cdot 3 \cdot 48 \cdot 44 \cdot 40}{52\cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} = 0,042256903 \)

   3. triss, tre kort av samma valör och resten skall inte ha samma valör som de tre första.

      Observera att det fjärde och femte kortet måste ha olika valör. Annars får du Fullt hus.

      Lösning

      Sannolikheten är \( \dfrac{52 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 48 \cdot 44}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49\cdot 48} = 0,002112845 \)

   4. varken fullt hus, par eller triss.

      Lösning

      Vi arbetar via kompementet: \( 1-(0,000144058 + 0,042256903 + 0,002112845) = 0,955486194 \).

3. Vilka uträkningar beskriver "Ur en kortpacke dras ett kort som är hjärter och kortets valör är mindre än 7?"

   Påstående	Ja	Nej
   \( \dfrac{1}{4}+ \dfrac{6}{13} \)
   \( \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{6}{13} \)
   \( \dfrac{{4\choose 1}}{52} \)
   \( \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{6}{13} \)
   \( \dfrac{6}{52} \)

   Lösning

   Påstående	Ja	Nej
   \( \dfrac{1}{4}+ \dfrac{6}{13} \)
   \( \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{6}{13} \)
   \( \dfrac{{4\choose 1}}{52} \)
   \( \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{6}{13} \)
   \( \dfrac{6}{52} \)

4. I Barnlotto ska en deltagare kryssa för tre rutor i rutfältet nedan. Den rätta rad som erhålls vid dragningen består av tre siffror.

   1

   2

   3

   4

   5

   6

   7

   8

   9

   10

   Beräkna sannolikheterna för att en deltagare skall få

   1. noll,

      Lösning

      Vi får \( P(\text{noll})=\dfrac{{3 \choose 0}{7 \choose 3}}{{10\choose 3}}=\dfrac{7}{24} = 0,292 \).

   2. en,

      Lösning

      Vi får \( P(\text{en})=\dfrac{{3 \choose 1}{7 \choose 2}}{{10\choose 3}}=\dfrac{21}{40} = 0,525 \).

   3. två,

      Lösning

      Vi får \( P(\text{två})=\dfrac{{3 \choose 2}{7 \choose 1}}{{10\choose 3}}=\dfrac{7}{40} = 0,175 \).

   4. och tre rätt.

      Lösning

      Vi får \( P(\text{tre})=\dfrac{{3 \choose 3}{7 \choose 0}}{{10\choose 3}}=\dfrac{1}{120} = 0,008 \).

   5. Hur stor är summan av dessa sannolikheter?

      Lösning

      Summan är \( \dfrac{7}{24} + \dfrac{21}{40}+\dfrac{7}{40}+\dfrac{1}{120}=1 \)

5. Under processen av massproducerade tallrikar från 12 % ett litet färgfel och 7 % ett litet formfel. Hurdant fel tallrikarna får är oberoende av varandra. Tallrikar som har ett fel säljs som B-kvalitet. Sådana med bägge fel kasseras, förstörs. För en felfri tallrik får man 10 € vinst och för en tallrik med B-kvalitet 6 € vinst. En kasserad tallrik orsakar en förlust om 15 €. Bestäm väntevärdet för en tallrik.

   Lösning

   Sannolikheten att en tallrik är felfri är \( 1 - (0,12 + 0,07 ) = 0,81 \).

   Sannolikheten att vi har en tallrik som klassas som B-kvalitet är \( 0,12 + 0,07 - 0,12\cdot 0,07 = 0,1816 \).

   Sannolikheten att vi har en tallrik som kasseras är \( 0,12 \cdot 0,07 = 0,0084 \).

   Adderar vi ihop sannolikheterna får vi 1.

   Väntevärdet är \( E(X) = 0,81 \cdot 10 \text{ € } + 0,1816 \cdot 6 \text{ € } - 0,0084 \cdot 15 \text{ €} = 9,0636 \) €.

   Alltså 9,06 € per tallrik.

6. Bland två identiska mynt är det ena balanserat så då man singlar myntet ger det krona med sannoliheten 0,60. En spelare tar en av mynten och singar det 3 gånger. Bestäm sannolikheten att hen får 3 gånger krona på raden.

   Lösning

   Vi får \( 0,50 \cdot 0,50^3 + 0,50 \cdot 0,60^3 = 0,1705 \approx 0,17 \).