MaA 8 Statistik och sannolikhet

2. Geometrisk sannolikhet

Till stationen kommer ett tåg varje 15 minut. Tåget står där i 1 minut före det åker vidare. Daniel som inte vet tågets tidtabell anländer slumpmässigt till stationen.

  1. Bestäm sannolikheten att tåget står och väntar på honom.
  2. Att han får vänta högst 3 minuter på nästa tåg.

Eftersom vi har en händelse där vi inte kan tabellera alla möjligheter när Daniel anländer till stationen ser vi geometriskt på problemet. Vi löser problemet genom att se på en tallinje, där vi har sträckor om 15 minuter och 1 minut.

  1. Det gynnsamma fallen är 1 minut av det totala 15 minuter. Sannolikheten är \( \dfrac{1}{15} \approx 0,0. \)
  2. Om Daniel skall vänta högst 3 minuter på nästa tåg så är de gynnsamma fallen 4 minuter. Sannolikheten är \( \dfrac{4}{15} \approx 0,27 \).

Exempel 1 Anna och Bertil har bestämt att de skall träffas på café mellan klockan 14:00 och 15:00. Den exakta tiden blev obestämd så båda anländer slumpmässigt oberoende över när den andra anländer. Bestäm sannolikheten att

  1. Anna anländer före Bertil,
  2. Anna får vänta över 20 minuter på Bertil.

Lösning

Eftersom det finns oändligt många olika tider som Anna och Bertil kan anlända löser vi problemet med hjälp av en bild.

Vi placerar in klockslag på \( x \)- och \( y \)-axeln så att den tid då Anna anländer är på \( x \)-axeln och den tid då Bertil anländer är på \( y \)-axeln. Alla punkter i planet, som är oändligt många representerar olika tider då de anländer.

Om Anna anländer före Bertil så skall \( x < y \). Vi tar och ritar ut grafen av \( y > x \) i bilden och märker att vi får två trianglar vars area är hälften av kvadratens area. Sannolikheten för att Anna anländer före Bertil är 0,50.

Om Anna skall få vänta över 20 minuter på Bertil får vi sambandet \( y > x +20 \). Det området representeras av det område som är ovan linjen \( y=x+20 \).

För att bestämma sannolikheten jämför vi areorna, \( \dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot 40 \cdot 40}{60\cdot 60} \approx 0,22 \).

Uppgifter

  1. Bestäm följande sannolikheter för den stokastika variabeln då alla sektorer är lika stora då vi snurrar på lyckohjulet..

    1. Rött

      \( P(\text{Rött})=\dfrac{2}{8} = 0,25 \).

    2. Vitt

      \( P(\text{Vitt})=\dfrac{4}{8} = 0,50 \).

    3. Grönt

      \( P(\text{Grönt})=\dfrac{2}{8} = 0,25 \).

      Märk att vi kan också räkna \( P( \text{Grönt}) = 1 -(P(\text{Rött eller Vitt})) = 1 - (0,25 + 0,50) = 0,25 \).

  2. I en korsning måste bilisterna vänta högst 40 sekunder på grönt ljus. Det är grönt ljus 20 sekunder åt gången. Vilken är sannolikheten att en bilist som kommer till korsningen
    1. inte behöva stanna vid trafikljuset.

      Vi får \( \dfrac{20}{40+20} = 0,33\ldots \).

    2. skall vara tvungen att vänta högst 15 sekunder på grönt ljus.

      Vi får \( \dfrac{20+15}{40+20} = 0,5833\ldots \).

    3. skall vara tvungen att vänta högst 30 sekunder på grönt ljus.

      Vi får \( \dfrac{20 + 30}{40+20} = 0,833\ldots \).

  3. Bussarna för en busslinje avgår var 30 min. Före avfärd står de på hållplatsen i 5 minuter med dörrarna öppna. Bertil känner inte bussens tidtabell och kommer slumpmässigt till busshållplatsen. Bestäm följande sannolikheter.
    1. Att han direkt kan stiga in i bussen.

      Sannolikheten är \( P(\text{direkt}) = \dfrac{5}{30} = 0,1666 \).

      Alltså 0,17.

    2. Att han hamnar vänta mindre än 10 minuter innan han kan stiga in i bussen.

      Vi får \( P(\text{vänta mindre än 10 min}) = \dfrac{10+5}{30} = 0,500 \)

      Alltså 0,50.

    3. Att han hamnar vänta mera än 10 minuter innan han kan stiga in i bussen.

      Att vänta mera än 10 minuter är komplementet till att vänta mindre än 10 minuter.

      Vi får \( P(\text{vänta mera än 10 min}) = 1 - P(\text{vänta mindre än 10 min}) = 1 - 0,500 = 0,500 \)

      Alltså 0,50.

  4. Från intervallet \( [-10,5] \) väljs slumpmässigt ett tal. Bestäm sannolikheten att
    1. absolutloppet för värdet är större än 4.

      De tal som vi söker är mindre än -4 och större än 4.

      Vi får \( P(\mid x \mid > 4) = \dfrac{\mid -10 - (-4) \mid + \mid 5-4\mid}{\mid -10-5 \mid} = \dfrac{7}{15} = 0,467 \).

    2. kvadraten på talet är mindre än 9.

      De tal som vi söker är större än -3 och mindre än 3.

      Vi får \( P(\mid x^2 \mid < 9) = \dfrac{\mid -3 - (3) \mid}{\mid -10-5 \mid} = \dfrac{2}{5} = 0,40 \).

  5. En borttappad Legobit sökes i ett rum som är 3,0 m brett och 2,5 m brett. Vi antar att varje ställe på golvet har samma sannolikhet att Legobiten hittas där. Bestäm sannolikheten att Legobiten är högst 0,3 m från väggen.

    Arean för rummet är \( 3,0 \cdot 2,5 = 7,5 \text{ m}^2 \).

    Arean där Legobiten inte skall finnas är \( (3,0 - 0,6)(2,5-0,6) = 4,56 \text{ m}^2 \).

    Sannolikheten är \( \dfrac{7,5-4,56}{7,5} = 0,392 \).

  6. Anna och Bertil skall äta lunch tillsamman men den exakta tiden glömde de bort att bestämma. De bestämde att de skall träffas mellan 11:00 och 12:00. Bestäm sannolikheten att
    1. båda anländer efter 11:20,

      Vi skapar följande tabell

      Anna
      12:00NejNejOKOKOKOKOK
      11:50NejNejOKOKOKOKOK
      11:40NejNejOKOKOKOKOK
      11:30NejNejOKOKOKOKOK
      11:20NejNejOKOKOKOKOK
      11:10NejNejNejNejNejNejNej
      11:00NejNejNejNejNejNejNej
      11:0011:1011:2011:3011:4011:5012:00Bertil

      Sannolikheten är \( P(\text{Båda efter 11:20})= \dfrac{40 \cdot 40}{60\cdot 60} = 0,444\ldots \approx 0,44 \).

    2. då Anna anländer efter 11:20 väntar redan Bertil på henne och

      Vi skapar följande tabell

      Anna
      12:00OKOKOKOKOKOKOK
      11:50OKOKOKOKOKOKNej
      11:40OKOKOKOKOKNejNej
      11:30OKOKOKOKNejNejNej
      11:20OKOKOKNejNejNejNej
      11:10NejNejNejNejNejNejNej
      11:00NejNejNejNejNejNejNej
      11:0011:1011:2011:3011:4011:5012:00Bertil

      Sannolikheten är \( P(\text{Anna efter 11:20 och Bertil väntar på henne}) = \dfrac{20\cdot 40 + \dfrac{1}{2}\cdot 40 \cdot 40}{60\cdot 60} = 0,444\ldots \approx 0,44 \).

    3. de hamnar att vänta minst 30 minuter på varandra.

      Vi skapar följande tabell

      Anna
      12:00OKOKOKOKNejNejNej
      11:50OKOKOKNejNejNejNej
      11:40OKOKNejNejNejNejNej
      11:30OKNejNejNejNejNejOK
      11:20NejNejNejNejNejOKOK
      11:10NejNejNejNejOKOKOK
      11:00NejNejNejOKOKOKOK
      11:0011:1011:2011:3011:4011:5012:00Bertil

      Sannolikheten är \( P(\text{Någondera får vänta minst 30 min})=\dfrac{2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 30\cdot 30}{60\cdot 60}=0,25 \).

  7. Talet \( x \) väljs slumpmässigt ur intervallet \( ]0,2[ \) och talet \( y \) väljs slumpmässigt ur intervallet \( ]0,3[ \). Bestäm sannolikheten att \( x > y \).

    Bilda en tabell och jämför areorna.

    Sannolikheten är \( \dfrac{1}{3} \approx 0,33 \).

  8. Ur intervallet \( ]0,2[ \) väljs två tal slumpmässigt. Bestäm sannolikheten att
    1. summan har ett större värde än 1.

      Bilda en tabell och jämför areor.

      Sannolikheten är \( \dfrac{7}{8} = 0,785 \).

    2. avståndet mellan talen är mindre än 1.

      Bilda en ny tabell och jämför areor.

      Sannolikheten är \( \dfrac{3}{4} = 0,75 \).

  9. Ur intervallet \( [-2,2] \) väljs två tal slumpmässigt. Vi bestämmer summan av talens kvadrater. Bestäm sannolikheten att summan av talens kvadrater har ett mindre värde än 3.

    Rita en bild och jämför areor. Arean för \( -2 \leq x \leq 2 \) är en kvadrat medan de sökta talen bildar en cirkel vars mittpunkt är i origo och vars radie är 3.

    Den sökta sannolikheten är \( \dfrac{3\pi}{16} = 0,58904\ldots \approx 0,590 \).

  10. i väljer slumpmässigt två reella tal från intervallet [0,4]. Bestäm sannolikheten att summan av dessa tal är lika med eller större än 5.

    Vi får följande tabell

    Sannolikheten är \( P(\text{Lika med eller större än 5})=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3}{4\cdot 4} =0,28125 \approx 0,28 \).

  11. För andragradsekvationen \( x^2+ax+1-a = 0 \) väljs värdet för \( a \) slumpmässsigt ur intervallet \( [-1,1] \). Bestäm sannolikheten att ekvationen saknar lösningar.

    Andragradsekvationen saknar lösningar då diskriminanten är negativ.

    Alltså \( D = b^2-4ac < 0 \).

    Vi får \( a^2-4\cdot 1 (1-a) < 0 \)

    För hand löser du den som en andragradsekvation, skissar upp kurvan och svarar. Annars löser du den på CAS.

    Vi får \( a_1 = -2\sqrt{2}-2 \approx -4,8284 \) och \( a_2 = 2\sqrt{2}-2 \approx 0,8284 \).

    Emellan nollställena är uttrycket negativt.

    Den sökta sannolikheten är \( P(\text{saknar lösning}) = \dfrac{0,8284-(-1)}{1-(-1)} = 0,9142 \).

    Alltså 0,914.

  12. En bordsduk består av vita och röda ränder. De vita ränderna är 4,0 cm breda och de röda 2,0 cm breda. På bordet singlar vi ett mynt vars diameter är 26 mm. Bestäm sannolikheten för att myntet, efter att det har rullat färdig,
    1. är på vitt

      Myntets radie är 13 mm. Vi vill att myntets mittpunkt stannar 13 mm från randen.

      Vi får att sannolikheten är \( \dfrac{40 - 2 \cdot 13}{60} = 0,233\ldots \approx 0,23 \).

    2. stannar på bägge färgerna.

      Kriteriet uppfylls om myntet stannar minst 13 mm från gränsen. Det område som inte uppfyller kriteriet är en rand som är 14 mm.

      Vi får sannolikheten \( \dfrac{60-14}{60} = 0,766\ldots \approx 0,77 \).

  13. Vi väljer slumpmässigt en punkt i ett koordinatsystem så att \( x \) och \( y \)-koordinaten väljs från intervallet \( [-4,4] \). Bestäm sannolikheten att vi inte träffar cirkeln som bestäms av \( x^2+y^2=9 \).

    Den sökta sannolikheten kommer vi åt genom följande \( P(\text{Inte träffar cirkeln})=1-P(\text{Träffar cirkeln}) = 1 - \dfrac{\pi \cdot 3^2}{8\cdot 8 } = 0,5582 \approx 0,56 \).