MaA 8 Statistik och sannolikhet

5. Permutationer

Anna, Bertil, Cecilia och Daniel skall ställa sig i kö. De funderar hur många olika köer som de kan bilda.

Kan du hjälpa dem?

Först i kön kan vi placera Anna, Bertil, Cecilia eller Daniel, 4 alternativ. Som andra i kön kan vi välja mellan 3 personer, som tredje i kön kan vi välja mellan 2 personer och som fjärde har vi en person.

1:a platsen2:a platsen3:e platsen4:e platsen
4 personer3 personer2 personer1 person

Antalet olika kombinationer är \( 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 = 24 \). Vi kan skriva \( 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 \) som \( 4! \), utläses "fyra fakultet".

Antalet olika permutationer, varianter av en mängd, som består av \( n \) element är \( n! \) där \( n!=n(-1)(n-2)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1 \).

Exempel 1 Hur många olika köer kan Anna, Bertil, Cecilia och Daniel bilda där endast två personer deltar?

Lösning

Vi kan välja bland 4 personer till först och 3 på andra plats. Vi får \( 4\cdot 3 =12 \).

Men vi kan också räkna som följande: \( 4 \cdot 3 =\dfrac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1} = \dfrac{4!}{2!} \).

Om vi allmänt skall ur en mängd \( n \) skall bilda n-permutationer, eller ordnade delmängder, som består av \( k \) st element får vi det som \( P_{n,k}=\dfrac{n!}{(n-k)!} \).

På räknaren utnyttjar vi en knapp som påminner om nPr.

Uppgifter

  1. I hur många olika köer kan vi placera
    1. Knatte, Fnatte och Tjatte?

      Först 3, sedan 2 och sist 1 alternativ.

      \( 3! = 3\cdot 2\cdot 1=6 \).

    2. 7 bröder?

      \( 7! = 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 5040 \) st olika sätt.

    3. en riksdagsgrupp på 19 ledamöter?

      \( 19 ! = 1,21645 \cdot 10^{17} \) st olika sätt.

  2. Aapo, som är ett stort fan av Väinö Linna, placerar alla sex böcker av Väinö Linna i sin bokhylla slumpmässigt. Vilken är sannolikheten att Aapo placerar de i kronologisk ordning?

    Totala kombinatoner är \( 6!= 720 \). En av dessa är korrekt, alltså \( \dfrac{1}{720} \).

  3. De nio basgrupperna i en skola kommer varje dag i olika ordning till matsalen och äta. Hur många läsår tar det att basgrupperna äter i samma ordning?

    Ett skolår består av 190 skoldagar.

    Totala antalet kombinationer är \( 9 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = 9 ! = 362 880 \) st.

    Antal skolår är ca 1910 år.

  4. På hur många sätt kan vi av 200 riksdagsledamöter ordna en kö som består av 3 st ledamöter.

    På första plats kan vi välja bland 200 st, sedan bland 199 st och som tredje 198 st.

    Antal kombinationer är \( 200 \cdot 199 \cdot 198 = 7880400 \) st.

  5. Ett fotbollslag består av följande antal spelare.
    Målvakter3 st
    Försvarare7 st
    Mittfältare7 st
    Anfallare5 st
    Totalt22 st
    1. 4 st försvarare skall spela. På hur många olika sätt kan tränaren kombinera sina försvarare?

      \( 7 \text{nPr} 4 = \dfrac{7!}{(7-4)!}= 840 \) olika sätt.

    2. På hur många sätt kan han spela sina mittfältare och anfallare då de totalt utgör 6 spelare från öppningselvan?

      Vi får \( 12 \text{nPr} 6 = \dfrac{12!}{(12-6)!}=665280 \) olika sätt.

    3. På hur många olika sätt kan tränaren välja öppningselvan?

      Han måste välja mellan en av 3 målvakter.

      Av 19 utespelare skall 10 st spela.

      Antalet kombinationer är \( 3\cdot \dfrac{19!}{(19-10)!} = 1,00566\ldots 10^{12} \) olika sätt.

  6. 5 syskon ,inga tvillingar, placeras slumpmässigt i kö. Bestäm sannolikheten att kön som syskonen bildar är i åldersordning.

    Totala antalet köer som syskonen kan bilda är \( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5! \).

    Antal köer där de är i åldersordning är 2 st.

    Sannolikheten är \( P(\text{ordningsföljd}) = \dfrac{2}{5!} = 0,0166\ldots \). Alltså 0,017.

  7. Hur många sittorningar kan man skapa för 18 studerande då det finns
    1. 18 st

      I första pulpeten kan vi välja bland 18 studerande, sedan 17 osv.

      Totala antalet kombinationer är \( 18 ! \approx 6,4 \cdot 10^{15}\).

    2. 32 st

      Första studerande kan välja mellan 32 platser, den andra mellan 31, och den sista mellan 18 st.

      Antalet kombinationer är \( 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot \ldots \cdot 18 = \dfrac{32!}{(32-18)!} = \dfrac{32!}{14!} \approx 3,01 \cdot 10^{24} \).

      3. sittplatser i klassrummet?
  8. I ett travlopp där det deltar 16 hästar spelar man på ordningsföljden för de tre första hästarna i mål. Bestäm sannolikheten för att en slumpmässig tippning har rätt.

    Antal köer med 3 hästar av 16 är 3360.

    Av dessa är 1 rätt. Sannolikheten är \( \dfrac{1}{3360} = 0,0002976\ldots \).

  9. Bestäm största faktor för summan \( 11! + 13! \).

    Vi har

    \( \begin{array}{rcl} 11! + 13! & = & 11! + 13 \cdot 12 \cdot 11! \\ & = & 11! (1+ 13 \cdot 12) \\ & = & 11! (1+ 156) \\ & = & 157 \cdot 11! \\ & = & 157 \cdot 11 \cdot 10 \ldots 2 \cdot 1 \\ \end{array} \)

    Alltså 157.

  10. Cecilia spelar på stryktipset och har 8 st matcher vars resultat hon är "säker" på, så kallade "säkra" val. Resten kan sluta som 1, X eller 2. Hur många rader borde hon spela för att vara säker på att hon skall ha 13 rätt?

    8 rader med 1 tecken, \( 13-8=5 \) rader som behöver 3 tecken.

    Antal kombinationer är \( 1^8 \cdot 3^5=243 \) st.

  11. 4 flickor och 3 pojkar bildar en kö. Med vilken sannolikhet kommer en pojke att vara sist i kön?

    Antal flickor är 4 och pojkar 3. Vi vill ha en pojke sist, resten spelar ingen roll. Köer där vi har en pojke sist är \( 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\cdot 2\cdot 1 \cdot 1 \).

    Totala kombinationer är \( 7! \).

    Sannolikheten är \( \dfrac{ 6!\cdot 1}{7!} = \dfrac{6!}{7 \cdot 6 !} = \dfrac{1}{7}=0,143 \).

  12. Hur många personer bör samlas i samma utrymme så att sannolikheten för att åtminstone två personer delar födelsedag överstiger 50 %?

    Tänk via komplementet, 1-.

    Person 1 har 365 dagar att ha födelsedag på, person 2 har 364 dagar att ha födelsedag på, person 3 har 363 dagar att ha födelsedag på, osv.

    Sannolikheten för att den första har en unik födelsedag är \( 1-\dfrac{0}{365} \), för den andra \( 1-\dfrac{1}{365} \), för den tredje \( 1-\dfrac{2}{365} \) och för den \( n \):te \( 1-\dfrac{n-1}{365} \).

    Vi får att \( (1-\dfrac{0}{365})(1-\dfrac{1}{365})(1-\dfrac{2}{365})\ldots(1-\dfrac{n-1}{365})=0,50 \).

    Vi löser den lättast genom att göra en tabell och se för vilket värde på \( n \) som sannolikheten är större än 0,50.

    Vi får att \( n>23 \).

  13. Bestäm antalet nollor som följande tal slutar på.
    1. \( 23 ! \)

      \( 23 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 22 \cdot 23 \).

      För att en produkt skall sluta på en nolla skall den ha en faktor 10 i sig.

      Det vi söker är antalet tal som har faktorn 10 i sig. Men kom ihåg att \( 2 \cdot 5 = 10 \). Så det vi söker är faktorer av \( 5 \), faktorerna \( 5, 10, 15 \) och \( 20 \).

      Alltså slutar \( 23 ! \) på 4 st nollor.

    2. \( 101 ! \)

      Logiken är samma, vi söker faktorer som slutar på 0 eller 5.

      Den sista faktorn i \( 101 ! \) som har faktorn 5 är 100. Antalet faktorer i \( 101 ! \) som innehåller faktorn 5 är \( \dfrac{100}{5} = 20 \) st.

      Men eftersom \( 5 \cdot 5 = 25 \) måste vi beakta dessa. Antalet faktoer i \( 101 ! \) som innehåller faktorn 25 är \( \dfrac{100}{25} = 4 \) st.

      Alltså slutar \( 101 ! \) på \( 20 + 4 = 24 \) nollor.

    3. \( 1000! \)

      Vi fortsätter med samma logik.

      Antal faktorer som slutar på 5 i \( 1000 ! \) är \( \dfrac{1000}{5} = 200 \) st.

      Sedan undersöker vi \( 5 \cdot 5 = 5^2 = 25 \). Antal faktorer i \( 1000! \) är \( \dfrac{1000}{25} = 40 \).

      Till nästa undersöker vi \( 5^3 = 125 \). Antal faktorer i \( 1000! \) är \( \dfrac{1000}{125} = 8 \).

      Till sist undersöker vi \( 5^4 = 625 \). Antal faktorer i \( 1000! \) är \( \dfrac{1000}{625} = 1,6 \). Alltså 1 st.

      Totala antalet nollor är \( 200 + 40 + 8 + 1 = 249 \) st.

    4. Skapa en algoritm som berättar hur du kan undersöka hur många nollor en fakultet slutar på.

      Algorimten är följande

      1. Börja med att dividera med 5. Använd dig av heltalet.
      2. Dividera sedan med \( 5^2 \). Använd dig av heltalet.
      3. Dividera sedan med \( 5^3 \). Använd dig av heltalet.
      4. Fortsätt med detta så länge du får kvoter som är större än 1.
      5. Addera ihop heltalen som du fick från divisionerna. Dessa är antalet nollor i fakulteten.