MaA 8 Statistik och sannolikhet

6. Kombinationer

Anna, Bertil, Cecilia och Daniel funderar över hur många par de kan bilda. Kan du hjälpa dem?

Paret Anna och Bertil är samma som Bertil och Anna. Vi gör följade tabell:

Person 1Person 2
AnnaBertil
AnnaCecilia
AnnaDaniel
BertilCecilia
BertilDaniel
CeciliaDaniel

Då vi räknar raderna märker vi att de kan bilda på sex olika sätt. Då vi ordnade dem i köer, permutationer, fick vi 12 olika köer. Det som vi måste beakta är att permutationerna Anna, Bertil och Bertil, Anna är samma kombination. Då vi delar antal permutationer med två får vi antalet kombinationer att stämma.

Om vi allmänt ur en mängd \( n \) skall bila kombinationer beståendes av \( k \) element får vi det som \( C_{n,k} = \dfrac{P_{n,k}}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \displaystyle{n \choose k} \).

För att slå in \( \displaystyle{n \choose k} \) på räknaren använder du dig av nCr funktionen.

Exempel 1 Bestäm sannolikheten att vi i ett parti poker direkt får färg då korten delas ut.

Lösning

För att få färg så skall alla fem kort vara av samma sort. Ur en färg, som består av 13 kort, är vi intresserade av 5. Antalet kombinationer är \( \displaystyle{13\choose 5} \). I kortpacken är det 4 färger som kan bilda färg så totala antalet gynnsamma utfall är \( 4\cdot \displaystyle{13\choose 5} \).

Totala antalet utfall, kombinationer, som vi kan bilda med 5 st kort är \( \displaystyle{52 \choose 5} \).

Sannolikheten är \( \dfrac{4\cdot \displaystyle{13\choose 5}}{\displaystyle{52\choose 5}} = 0,00198 \). Vi borde få färg direkt vid utdelningen ca 1 gång av 500.

Uppgifter

  1. På hur många sätt kan vi av Jukolas sju bröder bilda grupper som består av 5 stycken bröder?

    Vi får \( \displaystyle{7 \choose 5}=21 \).

  2. Hur många "händer" kan man dra ur en kortpacke då man drar 5 st kort?

    Vi får \( 52 \text{ nCr } 5 = \displaystyle{52\choose 5} = 2598960 \) st.

  3. I Bridge delas kortpackens 52 kort jämt bland spelets 4 deltagare. På hur många sätt kan kortpacken delas?

    Vi får \( 52 \text{ nCr } 13 = 6,3501\ldots \cdot 10^{11} \).

    Alltså ca 635 miljarder olika sätt.

  4. I Lotto dras 7 siffror och 2 tilläggsiffror av 39. När du spelar normalt väljer man 7 st siffror.
    1. Hur många olika rader kan vi bilda i Lotto?

      Vi får \( \displaystyle{39 \choose 7}=15380937 \).

    2. Bestäm sannolikheten för att få 7 rätt.

      \( \dfrac{1}{15380937} \)

    3. Bestäm sannolikheten att inte ha någon siffra rätt.

      Antal lottorader är \( \displaystyle{39\choose 7} \).

      Rader som inte innehåller en endaste siffra är \( \displaystyle{39-9 \choose 7} = \displaystyle{30\choose 7} \). Av 29 siffror skall våra 7 siffror vara.

      Sannolikheten är \( \dfrac{\displaystyle{30\choose 7}}{\displaystyle{39 \choose 7}}=0,13236 \).

  5. I ett motell finns det 8 st rum bredvid varandra. Rummen tilldelas slumpmässigt. Bestäm sannolikheten att familjerna Andersson och Bengtsson får rummen bredvid varandra.

    Totala antalet kombinationer är \( \displaystyle{8\choose 2} \).

    Av alla kombinationer är 7 st gynsamma. Rita upp en tabell vid behov.

    Sannolikheten är \( P(\text{bredvid varandra}) = \dfrac{7}{\displaystyle{8\choose 2}} = \dfrac{1}{4} = 0,25 \).

  6. Ett idrottslag består av 22 spelare. För en dopingtest väljs 5 spelare slumpmässigt.
    1. Hur många olika stickprov kan man få av laget?

      Antal kominationer är \( \displaystyle{22\choose 5}=26334 \).

    2. I laget finns tre spelare som använt förbjudna preparat. Med vilken sannolikhet består stickprovet av endast rena spelare?

      Antal rena kombinationer är \( \displaystyle{22-3 \choose 5} \).

      Sannolikheten är \( \dfrac{\displaystyle{19\choose 5}}{\displaystyle{22\choose 5}}=0,44159 \).

  7. Lotto kan man spela som system. Det betyder att man väljer flera siffror än 7. I system 9/39 väljer man 9 siffror av 39. I delmomenten räknar vi med att vi spelar 9 siffror.
    1. Hur många normala rutfält med 7 siffror motsvarar valet av 9 siffror?

      Vi får \( \displaystyle{9\choose 7}=36 \).

    2. Med vilken sannolikhet får man 7 rätt?

      Vi får att \( \dfrac{\displaystyle{7 \choose 7} \cdot \displaystyle{32\choose 2}}{\displaystyle{39 \choose 7}} = 0,000032248 \)

    3. Med vilken sannolikhet har man ingen siffra rätt?

      Vi skall inte ha någon av de 7 normala eller 2 tilläggssiffrorna rätt.

      Sannolikheten är \( \dfrac{\displaystyle{7\choose 0}\displaystyle{2\choose 0}\displaystyle{30\choose 9}}{\displaystyle{39\choose 7}} = 0,930187 \).

    4. Med vilken sannolikhet har man i alla fall en siffra rätt?

      Sannolikheten är \( 1-P(\text{Ingen siffra rätt}) = 1 - 0,930187 = 0,06981 \).

  8. Vilket sätt inom kombinatoriken beskriver följande händelse?
    Påstående\( n\cdot n \cdot n \ldots \cdot n \)\( n! \) \( \displaystyle{n\choose k} \)
    Antal kombinationer då vi agerar slumpmässigt.
    Antal grupper där ordningen spelar roll.
    Antal grupper där ordningen inte spelar någon roll.

    Påstående\( n\cdot n \cdot n \ldots \cdot n \)\( n! \) \( \displaystyle{n\choose k} \)
    Antal kombinationer då vi agerar slumpmässigt.
    Antal grupper där ordningen spelar roll.
    Antal grupper där ordningen inte spelar någon roll.

  9. I ett travlopp där det deltar 16 hästar spelar man på de tre första hästarna i mål. Bestäm sannolikheten för att en slumpmässig tippning har rätt.

    Antal grupper med 3 hästar av 16 är \( \displaystyle\binom{16}{3} = 560 \).

    Av dessa är 1 rätt. Sannolikheten är \( \dfrac{1}{560} = 0,0017857\ldots \).

  10. Bestäm följande värden utan att använda dig av räknare.
    1. \( \displaystyle{14\choose 2} \)

      \( \displaystyle{14\choose 2} = \dfrac{14!}{2!(14-2)!} = \dfrac{14!}{2! \cdot 12 !} = \dfrac{14 \cdot 13}{2 \cdot 1} = 7 \cdot 13 = 91\)

    2. \( \displaystyle{200\choose 4} \)

      \( \displaystyle{200\choose 4} = \dfrac{200!}{4!(200-4)!} = \dfrac{200!}{4! \cdot 196 !} = \dfrac{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197}{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 64684950\)

  11. Visa att följande stämmer.

    Arbeta via definitionen.

    1. \( \displaystyle{n\choose 0}=\displaystyle{n\choose n} = 1 \)

      \( \displaystyle{n\choose 0}=\dfrac{n!}{0!(n-0)!}=\dfrac{n!}{1\cdot n!}=\dfrac{n!}{n!} = 1 \) och \( \displaystyle{n\choose n}=\dfrac{n!}{n!(n-n)!} = \dfrac{n!}{n!\cdot 0!} = 1 \).

    2. \( \displaystyle{n\choose n-k} = \displaystyle{n\choose k} \)

      \( \displaystyle{n\choose n-k} =\dfrac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!} = {n\choose k} \)

    3. \( \displaystyle{n\choose k} + \displaystyle{n \choose k+1} = \displaystyle{n+1\choose k+1} \)

      \( \begin{array}{rcl} \displaystyle{n\choose k}+\displaystyle{n\choose k+1} & = & ^{k+1)}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}+^{n-k)}\dfrac{n!}{(k+1)![n-(k+1)]!} \\ & = & \dfrac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!}+\dfrac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!} \\ & = & \dfrac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)!(n-k)!}\\ & = & \dfrac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\\ & = & \displaystyle{n+1\choose k+1}\end{array} \)