MaA 7 Integralkalkyl

7. Areor

Bestäm arean av det färgade området i bilden.

Lösning

Vi har en parallelltrapets. Avståndet mellan de parallella sidorna är \( 3-1=2 \) och längden av de parallella sidorna är \( f(1)=2 \) och \( f(3)=4 \).

Arean är \( \dfrac{2+4}{2}\cdot 2 = 6 \).

Exempel 1 Bilda en funktion som beskriver arean, \( A(x) \), och derivera den. Vad märker du?

Lösning

Vi har en parallelltrapets. Avståndet mellan de parallella sidorna är \( 1-x \) och längden av sidorna är \( f(1)=2 \) och \( f(x)=x+1 \).

Areafunktionen är \( A(x)=\dfrac{f(1)+f(x)}{2}(x-1) = \dfrac{2+(x+1)}{2}(x-1)=\dfrac{1}{2}(x+3)(x-1)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2} \).

\( A'(x)=x+1 \) som är samma som \( f(x) \).

Exempel 2 Ett område i \( [1,x] \) avgränsas av funktionen \( f(x)=2x+2 \), \( x \)-axeln och två linjer som är vinkelräta \( x \)-axeln.

  1. Bestäm \( A(3) \)
  2. Bestäm \( A(1) \)
  3. Bilda funktionen \( A(x) \). Derivera den. Vad märker du?

Lösning

  1. Vi har en parallelltrapets, där höjden är \( 4-1=3 \) och där längden för de parallella sidorna är \( f(1)=4 \) och \( f(4)=10 \).

    Arean är \( A(4)= \dfrac{4+10}{2}\cdot 3 = 21 \).

  2. Vi får en figur där längderna för de parallella sidorna är lika långa och där avståndet mellan dem är 0. Arean är \( A(1)=0 \).

  3. Avståndet mellan de parallella sidorna är \( x-1 \) och längderna för de parallella sidorna är \( f(1)=4 \) och \( f(x)=2x+2 \).

    Arean är \( A(x)=\dfrac{4+2x+2}{2}(x-1) = \dfrac{2x+6}{2}(x-1)=(x+3)(x-1) = x^2+2x-3 \).

    Då vi deriverar \( A(x) \) får vi \( 2x+2 \). Vi märker att \( A'(x)=f(x) \).

Exempel 3 Parabeln \( y=x^2 \) och \( x \)-axeln avgränsar ett område i intervallet \( [1,3] \). Bestäm arean av området.

Lösning

Vi bildar en funktion \( A \) som ger arean för funktionen \( f(x)=x^2 \) i intervallet \( [1,3] \). Areans värde är \( A \):s värde i punkten 3, alltså \( A(3) \).

En primitiv funktion för \( f \) är \( F(x)=\dfrac{1}{3}x^3 \). Betyder att \( A(x)=\dfrac{1}{3}x^3+C \).

För funktionen \( A(x) \) vet vi att \( A(1)=0 \), så vi bestämmer ett värde för \( C \).

\( \begin{array}{rcl} A(1) & = & 0\\ \dfrac{1}{3}1^3+C & = & 0 \\ C & = & -\dfrac{1}{3}\\ \end{array} \)

Vi har alltså \( A(x)=\dfrac{1}{3}x^3 -\dfrac{1}{3} \).

Den sökta arean är \( F(3)=\dfrac{1}{3}3^3-\dfrac{1}{3} = 8\dfrac{2}{3} \).

Antag att funktionen \( f \) är positiv och kontinuerlig i intervallet \( [a,b] \). Då är arean som bildas mellan funktionen och \( x \)-axeln och som begränsas av \( a \) och \( b \) \( A=F(b)-F(a) \) där \( F \) är någon primitiv funktion för \( f \) .

Exempel 4 Bestäm arean mellan funktionen \( f(x)=-x^2-4x \) och \( x \)-axeln.

Lösning

Skärningspunkterna för \( f \) och \( x \)-axeln är

\( \begin{array}{rcl} -x^2-4x & = & 0 \\ -x(x+4) & = & 0 \\ \end{array} \)

Alltså då \( x=0 \) eller då \( x=-4 \).

Den primitiva funktionen är \( F(x)=-\dfrac{1}{3}x^3-4\cdot\dfrac{1}{2}x^2 = -\dfrac{1}{3}x^3-2x^2 \).

Arean är \( A= F(0)-F(-4) = [-\dfrac{1}{3}\cdot0^3-2\cdot0^2]-[-\dfrac{1}{3}(-4)^3-2(-4)^2] = 0-(\dfrac{64}{3}-32)=10\dfrac{2}{3} \).

Uppgifter

  1. Bestäm storleken av det område som uppstår mellan funktionen \( f(x) = 2x +1 \) och \(x \)-axeln i området \( [1,3] \).
    1. Geometriskt

      Vi har följande situation

      Vi har en parallelltrapets, arean är \( \dfrac{3+7}{2} \cdot 2 = 10 \) a.e.

    2. Genom att bilda skillnaden \( F(3) - F(1) \) där \( F \) är den primitiva funktionen för \( f \).

      \( F(x) = x^2 + x \).

      Vi får arean som \( A = F(3)-F(1) = 3^2+3 - (1^2+1) = 12-2 = 10 \) a.e.

  2. Bestäm storleken av det område som uppstår mellan funktionen \( f(x) = \dfrac{1}{2}x +1 \) och \( x \)-axeln i området \( [-1,7] \).
    1. Geometriskt

      Vi har följande situation

      Vi har en parallelltrapets, arean är \( \dfrac{f(-1)+ f(7)}{2} \cdot (7-(-1)) = \dfrac{0,5+4,5}{2} \cdot 8 = 20 \) a.e.

    2. Genom att bilda skillnaden \( F(7) - F(-1) \) där \( F \) är den primitiva funktionen för \( f \).

      \( F(x) = \dfrac{1}{4}x^2 + x \).

      Vi får arean som \( A = F(7)-F(-1) = \dfrac{1}{4}\cdot 7^2 + 7 - (\dfrac{1}{4}(-1^2)+(-1)) = \dfrac{77}{4} +\dfrac{3}{4} = 20 \) a.e.

  3. Bestäm arean av det färgade området i bilden antingen genom att bestämma arean geometriskt eller genom att bilda den primitiva funktionen.

    Vi har en paralleltrapets. Avståndet mellan de parallella sidorna är \( 3-1=2 \) och längden av sidorna är \( f(1)=2 \) och \( f(3)=8 \).

    Arean är \( \dfrac{2+8}{2}\cdot 2 = 10 \) a.e.

    Med hjälp av primitiva funktioner, \( F(3) - F(1) \).

  4. Bilda en funktion \( A(x) \) som beskriver arean för funktionen \( f \) och \( x \)-axeln i intervallet \( [2,x] \) och derivera den. Vad märker du?

    Vi har en parallelltrapets. Avståndet mellan sidorna är \( x-2 \) och längden av sidorna är \( f(2)=3 \) och \( f(x) \).

    Areafunktionen \( A(x)=\dfrac{3+x+1}{2}(x-2) =\dfrac{1}{2}x^2+x-4 \).

    Deriveringen ger \( A'(x)=x+1 = f(x) \).

  5. Bestäm arean i intervallet \( [1,4] \) som bildas mellan funktionen \( f(x)=x^2+1 \) och \( x \)-axeln så som gjordes i näst sista exemplet.

    Den primitiva funktionen är \( F(x)=\dfrac{1}{3}x^3+x \).

    Arean är \( A=F(4)-F(1) = [\dfrac{1}{3}\cdot4^3+4] - [\dfrac{1}{3}\cdot1^3+1] = \dfrac{76}{3} - \dfrac{4}{3} = 24 \).

  6. Bestäm arean i intervallet \( [-1,2] \) mellan funktionen \( f(x)=4x^3+4 \) och \( x \)-axeln.

    Den primitiva funktionen är \( F(x)=x^4+4x \).

    Arean är \( A=F(2)-F(-1) = [2^4+4\cdot 2]-[(-1)^4+4(-1)]=24-(-3) = 27 \).

  7. Bestäm arean mellan \( f(x)=-x^2+4 \) och \( x \)-axeln.

    Skärningspunkterna är \( f(x)=0 \Leftrightarrow -x^2+4=0 \Leftrightarrow x=\pm 2 \).

    Den primitiva funktionen är \( F(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+4x \).

    Arean är \( A=F(2)-F(-2)=[-\dfrac{1}{3}\cdot 2^3+4\cdot 2]-[-\dfrac{1}{3}(-2)^3+4(-2)] = \dfrac{16}{3}-(-\dfrac{16}{3})=\dfrac{32}{3} \).

  8. Bestäm storleken av den area som uppstår mellan funktionen \( f(x) = \cos x \) och \( x \)-axeln i intervallet \( [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}] \).

    I intervallet \( [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}] \) är funktionen ovan \(x\)-axeln. (Rita upp den och föräkra dig över att det är så).

    Den primitiva funktionen är \( F(x) = \sin x + C \).

    Vi arean som \( A = F(\dfrac{\pi}{2}) - F(\dfrac{-\pi}{2}) = \sin (\dfrac{\pi}{2}) - \sin (-\dfrac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2 \) a.e.

  9. Bestäm arean som bildas mellan \( x \)-axeln och \( f(x)=e^x+1 \) i intervallet \( [0,2] \).

    Den primitiva funktionen är \( F(x)=e^x+x \).

    Arean är \( A=F(2)-F(0)=(e^2+2)-(e^0+0) = e^2+2-1=e^2+1 \).

  10. Bestäm arean som begränsas av funktionerna \( x=1 \), \( x=4 \), \( y=\dfrac{1}{2}x+2 \) och \( x \)-axeln.

    Den primitiva funktionen är \( F(x)=\dfrac{1}{4}x^2+2x \).

    De lodräta linjerna funger som gräns, så arean är \( A=F(4)-F(1)=(\dfrac{1}{4}\cdot 4^2+2\cdot 4)-(\dfrac{1}{4}\cdot 1^2+2\cdot 1) = 12 - 2\dfrac{1}{4} = 9\dfrac{3}{4} \).

  11. Bestäm arean som bildas mellan funktionen \( \sin 2x \) och \( x \)-axeln i intervallet \( [0,\dfrac{\pi}{2}] \).

    Den primitiva funktionen är \( F(x)=-\dfrac{1}{2}\cos 2x \).

    Arean är \( A=F(\dfrac{\pi}{2})-F(0) = -\dfrac{1}{2}\cos(2\cdot \dfrac{\pi}{2})-[-\dfrac{1}{2}\cos(2\cdot 0)] = -\dfrac{1}{2}(-1) - (-\dfrac{1}{2}\cdot 1)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 \).

  12. För vilket värde på \( k \) gäller att arean som bildas i intervallet \( [1,k] \), mellan funktionen \( f(x)=\dfrac{1}{x} \) och mellan \( x \)-axeln har värdet 10?

    Den primitiva funktionen är \( F(x)=\ln \mid x \mid \). Eftersom vi har intervallet \( [1,k] \) så är \( F(x)=\ln x \).

    Vi får en ekvation, arean \( A = F(k)-F(1) =10 \)

    \( \begin{array}{rcl} F(k)-F(1) & = & 10 \\ \ln k - ln 1 & = & 10 \\ \ln k -0 & = & 10 \\ k & = & e^{10} \approx 22026,5\\ \end{array} \)