MaA 7 Integralkalkyl

4. för exponentialfunktioner

Den primitiva funktionen för \( f(x)=e^x \) är \( \displaystyle\int e^x \mathrm{ d}x =e^x +C \) eftersom \( De^x = e^x \) .

I differentialkalkylen hade vi kedjeregeln \( Df(g)=f'(g)g' \) som vi tillämpade på exponentialfunktionen med basen \( e \) och fick att \( De^{f(x)}=f'(x)\cdot e^{f(x)} \) .

Då vi opererar med integrering på bägge sidor får vi att

\( \begin{array}{rcll} \displaystyle \int De^{f(x)} \mathrm{ d}x & = & \displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)}\mathrm{ d}x \\ \displaystyle \int f'(x)\cdot e^{f(x)}\mathrm{ d}x & = & e^{f(x)} +C\\ \end{array} \)

Exempel 1 Bestäm \( \displaystyle\int xe^{x^2}\mathrm{ d}x \) .

Lösning

Vi har att \( Dx^2=2x \) . För att kunna integrera \( xe^{x^2} \) måste vi korrigera med en koefficient.

Vi använder oss av \( \displaystyle \int f'(x)=e^{f(x)}\mathrm{ d}x =e^{f(x)} +C \) .

Vi får

\( \begin{array}{rcll} \displaystyle \int xe^{x^2} \mathrm{ d}x & = & & \text{ Vi korrigerar med } 2\cdot \dfrac{1}{2} \\ & = & \dfrac{1}{2}\displaystyle \int 2xe^{x^2} \mathrm{ d}x & \text{ Vi använder oss av }\displaystyle \int f'(x)=e^{f(x)}\mathrm{ d}x =e^{f(x)} +C\\ & = & \dfrac{1}{2}e^{x^2}+C \\ \end{array} \)

Exponentialfunktioner integrerar vi som

  • \( \displaystyle\int e^x \mathrm{ d}x =e^x +C \)
  • \( \displaystyle\int f'(x)\cdot e^{f(x)}\mathrm{ d}x =e^{f(x)} +C \)

Exempel 2 För en funktion \( f \) vet vi att \( f'(x)=e^{2x} \) . Dessutom vet vi att minsta värdet för funktionen närmar sig 1. Bestäm \( f(x) \) .

Lösning

Vi får att \( f(x)=\displaystyle\int f'(x) \mathrm{ d}x = \displaystyle\int e^{2x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int 2e^{2x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{2}e^{2x}+C \) .

Alla exponentialfunktioner har samma form, se bild, som betyder att grundformen \( f(x)=e^x \) inte kommer att uppnå sitt minsta värde men endast närma sig det. \( f(x)=e^x \) :s minsta värde närmar sig 0.

För vår funktion betyder det att vi skall lyfta upp värdena ett steg. Det gör vi genom att addera till en etta.

Vi får alltså \( f(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}+1 \) .

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \( \displaystyle\int 3e^x \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 3e^x \mathrm{ d}x = 3e^x+C \)

    2. \( \displaystyle\int 5e^x \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 5e^x \mathrm{ d}x = 5e^x + C \)

    3. \( \displaystyle\int 2e^x \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 2e^x \mathrm{ d}x = 2e^x +C \)

  2. Kombinera rätt par av tal så att produkten blir 1. Välj bland
    \( \dfrac{1}{4} \)
    \( \dfrac{1}{3} \)
    \( \dfrac{1}{2} \)
    \( \dfrac{3}{4} \)
    \( \dfrac{3}{2} \)
    Ena talet härandra här
    2
    3
    4
    \( \dfrac{2}{3} \)
    \( \dfrac{4}{3} \)

    Ena talet härandra här
    \( \dfrac{1}{2} \) 2
    \( \dfrac{1}{3} \) 3
    \( \dfrac{1}{4} \) 4
    \( \dfrac{3}{2} \) \( \dfrac{2}{3} \)
    \( \dfrac{3}{4} \) \( \dfrac{4}{3} \)

  3. Bestäm
    1. \( \displaystyle\int e^{2x} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int e^{2x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int 2e^{2x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{2} e^{2x} + C \)

    2. \( \displaystyle\int e^{5x} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int e^{5x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{5}\displaystyle\int 5e^{5x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{5}e^{5x}+C \)

    3. \( \displaystyle\int x e^{x^2} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int x e^{x^2} \mathrm{ d}x =\dfrac{1}{2} \displaystyle\int 2x e^{x^2} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C \)

    4. \( \displaystyle\int x^2e^{x^3} \mathrm{ d} x \)

      \( \displaystyle\int x^2e^{x^3} \mathrm{ d} x = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int 3 x^2e^{x^3} \mathrm{ d} x = \dfrac{1}{3}e^{x^3} + C \)

    5. \( \displaystyle\int x e^{3x^2} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int x e^{3x^2} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{6}\displaystyle\int 6x e^{3x^2} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{6}e^{3x^2} + C \)

  4. Bestäm
    1. \( \displaystyle\int 2e^{4x} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 2e^{4x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int 2\cdot 2e^{4x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{2} e^{4x} + C \)

    2. \( \displaystyle\int 2e^{6x} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 2e^{6x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int 3\cdot 2e^{6x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{3}e^{6x}+C \)

    3. \( \displaystyle\int 2x e^{6x^2} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 2x e^{6x^2} \mathrm{ d}x =\dfrac{1}{6} \displaystyle\int 6 \cdot 2x e^{6x^2} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{6}e^{6x^{2}}+C \)

    4. \( \displaystyle\int 6x^2e^{4x^3} \mathrm{ d} x \)

      \( \displaystyle\int 6x^2e^{4x^3} \mathrm{ d} x = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int 2\cdot 6 x^2e^{4x^3} \mathrm{ d} x = \dfrac{1}{2}e^{4x^3} + C \)

    5. \( \displaystyle\int 4x e^{3x^2} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 4x e^{3x^2} \mathrm{ d}x = \dfrac{4}{6}\displaystyle\int 6x e^{3x^2} \mathrm{ d}x = \dfrac{4}{6}e^{3x^2} + C = \dfrac{2}{3}e^{3x^2} + C \)

    6. \( \displaystyle\int 5x^2 e^{-x^3} \mathrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int 5x^2 e^{-x^3} \mathrm{ d}x = -\dfrac{5}{3}\displaystyle\int -3x^2 e^{-x^3} \mathrm{ d}x = -\dfrac{5}{3}e^{-x^3} + C \)

  5. Bestäm den primitiva funktionen för
    1. \( 2xe^{4x^2} \)

      \( \dfrac{1}{4}\displaystyle\int 4\cdot 2xe^{4x^2} \mathrm{ d}x =\dfrac{1}{4}\displaystyle\int 8xe^{4x^2} \mathrm{ d}x= \dfrac{1}{4}e^{4x^2} + C \)

    2. \( \dfrac{1}{4}e^{2x} \)

      \( \dfrac{1}{8} \displaystyle\int 8\cdot\dfrac{1}{4}e^{2x} \mathrm{ d}x= \dfrac{1}{8} \displaystyle\int 2e^{2x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{8}e^{2x} + C \)

    3. \( 2x^2 e^{2x^3} \)

      \( \displaystyle\int 2x^2 e^{2x^3} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int 3\cdot 2x^2 e^{2x^3} \mathrm{ d}x=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int 6x^2 e^{2x^3} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{3}e^{2x^3}+C \)

    4. \( \dfrac{x^4}{10} \cdot e^{4x^5} \)

      \( \displaystyle\int \dfrac{x^4}{10} e^{4x^5} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{20}\displaystyle\int 20\cdot\dfrac{x^4}{10} e^{4x^5} \mathrm{ d}x=\dfrac{1}{200}\displaystyle\int 20x^4 e^{4x^5} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{200} e^{4x^5}+C \)

  6. Bestäm den primitiva funktionen för \( \dfrac{1- e^x}{e^x} \) .

    Vi har \( \dfrac{1-e^x}{e^x} = \dfrac{1}{e^x} - 1 = e^{-x}-1 \)

    \( \displaystyle\int (e^{-x}-1) \mathrm{ d}x = (-1)\displaystyle\int (-1)e^{-x}\mathrm{ d}x -\displaystyle\int 1 \mathrm{ d}x = -e^{-x}-x+C = \dfrac{-1-xe^x}{e^x} + C \) .

  7. Bestäm den primitiva funktionen för \( e^x(e^x +1) \).

    Vi får \( \displaystyle\int e^x(e^x +1) \mathrm{ d}x = \displaystyle\int e^{2x} +e^x \mathrm{ d}x = \displaystyle\int \dfrac{1}{2}\cdot 2e^{2x} +e^x \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{2}e^{2x} + e^x + C \).

  8. Bestäm den primitiva funktion för \( f(x) = 1-e^{-x} \) vars minsta värde är 4.

    Vi får att \( F(x) = e^{-x}+x+C \).

    Eftersom \( F \):s minsta värde är 4 skall derivatafunktionen \( f \) ha ett nollställe i den \( x \)-koordinaten. Vi får att \( f(x) = 0 \) då \( x = 0 \).

    Alltså skall \( F(x) \) gå genom punkten \( (0,4) \).

    Vi får att \( F(0) = 4 \) som ger att \( C = 3 \).

    Alltså är den sökta funktionen \( F(x) = e^{-x}+x+3 \).

  9. Bestäm den primitiva funktion för \( f(x)=e^{2x}-4e^x \), vars minsta värde är 5.

    Vi får \( F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} -4e^x + C \).

    Eftersom \( f \) är \( F \):s derivatafunktion kan vi bestämma extremvärdespunkterna med hjälp av \( f \). \( f(x)=e^{2x}-4e^x=0 \) då \( x = \ln 4 \).

    (Tänk att \( e^{2x} = (e^x)^2 \). Sedan kan du bryta ut från ekvationen och lösa vidare.)

    Alltså skall \( F \) gå genom punkten \( (\ln 4 ,5) \).

    Vi får att \( F(\ln 4) = 5 \) som ger att \( C = 13 \).

    \( F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} -4e^x + 13 \).

  10. Bestäm den primitiva funktion till funktionen \( f(x) = e^{2x}-2e^x \) som tangerar linjen \( y=-x \).

    För att kunna integrera behöver vi korrigera. \( \displaystyle\int e^{2x} - 2e^x \textrm{ d}x = \displaystyle\int \dfrac{1}{2}\cdot 2e^{2x} - 2e^x \textrm{ d}x = \dfrac{1}{2}e^{2x}-2e^x + C \).

    Eftersom \( F \) skall tangera linjen \( y = -x \) skall tangenten för \( F \):s riktningskoefficient ha värdet -1. \( x \)-koordinaten får vi med hjälp av \( f \).

    \( f(x) = e^{2x}-2e^x = -1 \). För att lösa den för hand gör vi substitutionen \( e^x = t \). Då får vi \( t^2-2t = -1 \) som har lösningen \( t=1 \). Alltså \( e^x = 1 \) som ger \( x = 0 \).

    Eftersom linjens ekvation är \( y=-x \) skall \( F \) gå genom punkten \( (0,0) \).

    Alltså \( F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2\cdot0}-2e^0 + C = 0 \) ger \( C = \dfrac{3}{2} \).

    \( F(x)= \dfrac{1}{2}e^{2x}-2e^x + \dfrac{3}{2} \).

  11. Bestäm för funktionen \( f(x) = e^{-2x} - 2e^{-x} \) den primitiva funktion som för funktionsvärdet 0 får värdet 1.

    Vi bildar den primitiva funktionen

    \( \begin{array}{rcl} F (x) & = & \displaystyle\int e^{-2x} - 2e^{-x} \textrm{ d}x \\ & = & \displaystyle\int (-\dfrac{1}{2})(-2)e^{-2x} + 2(-1)e^{-x} \textrm{ d}x \\ & = & -\dfrac{1}{2}e^{-2x} +2e^{-x} + C \\ \end{array} \)

    \( F(x) \) skall genom punten, \( (0,1) \). Vi får ekvationen \( -\dfrac{1}{2}e^{-2\cdot 0} +2e^{0} + C = 1 \), alltså \( C= -\dfrac{1}{2} \).

    \( F(x) = -\dfrac{1}{2}e^{-2x} +2e^{-x} -\dfrac{1}{2} \).

  12. Härled integreringsformen för funktionen \( a^x \). Bestäm med hjälp av formeln den primitiva funktionen för \( 2^x \).

    Från gammalt har vi \( D a^x = a^x \ln a \).

    Då vi integrerar bägge led får vi

    \( \begin{array}{rcll} \displaystyle\int D a^x & = & \displaystyle\int a^x \ln a \\ a^x & = & \displaystyle\int a^x \ln a & \mid /\ln a \text{ Vi kastar om leden.}\\ \displaystyle\int a^x \textrm{ d}x & = & \dfrac{a^x}{\ln a} + C \\ \end{array} \)

    Vi får \( \displaystyle\int 2^x = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C \).