3. för 1/x

Från differentialkalkylen har vi att $D\ln \mid x \mid=\dfrac{1}{x}$ . Då vi opererar med integralen på bägge led får vi att $\begin{array}{rcll} \displaystyle \int D \ln \mid x \mid \mathrm{ d}x & = & \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \mathrm{ d}x & \text{Integrering och derivering tar ut varandra.}\\ \\ \ln \mid x \mid & = & \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \mathrm{ d}x\\ \end{array}$

Vi har en formel för att bestämma den primitiva funktionen för $\dfrac{1}{x}$ .

Exempel 1 Bestäm $\displaystyle \int \dfrac{1}{4x} \mathrm{ d}x$ .

Lösning

$\displaystyle \int \dfrac{1}{4x} \mathrm{ d}x = \displaystyle \int \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{4}\ln \mid x \mid +C$ .

För integrering av $\dfrac{1}{x}$ gäller

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x} \mathrm{ d}x = \ln \mid x \mid +C$

Exempel 2 Bestäm den primitiva funktion för $f(x)=\dfrac{1}{x}$ , där $x < 0$ , som i punkten $-e$ har värdet $2$ .

Lösning

$\begin{array}{rcll} \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \mathrm{ d}x & = & \ln \mid x \mid + C & \text{Eftersom }x < 0 \text{ så är } \mid x \mid -x \\ & = & \ln(-x)+C \\ \end{array}$

Eftersom den primitiva funktionen skall ha värdet 2 i punkten $-e$ får vi att

$\begin{array}{rcl} \ln (-(-e)) + C & = & 2 \\ \ln e +C & = & 2 \\ 1 + C & = & 2 \\ C & = & 1\\ \end{array}$

Den primitiva funktionen är $\ln(-x) + 1$ där $x < 0$ .

Uppgifter

Bestäm den primitiva funktionen för
1. $\dfrac{2}{3x}$
  
  $\displaystyle \int \dfrac{2}{3x} \mathrm{ d} x = \dfrac{2}{3}\ln\mid x \mid + C$ .
2. $-\dfrac{6}{x}$
  
  $\displaystyle \int -\dfrac{6}{x} \mathrm{ d} x = -6\ln\mid x \mid + C$ .
3. $- \dfrac{3}{4x}$
  
  $\displaystyle \int -\dfrac{3}{4x} \mathrm{ d} x = -\dfrac{3}{4}\ln\mid x \mid + C$ .
Integrera
1. $\dfrac{1}{7x}$
  
  $\displaystyle \int \dfrac{1}{7x} \mathrm{ d}x = \dfrac{1}{7}\ln \mid x \mid + C$ .
2. $\dfrac{2}{5x}$ där $x > 0$ .
  
  $\displaystyle \int \dfrac{2}{5x} \mathrm{ d}x = \dfrac{2}{5}\ln \mid x \mid + C$ . Eftersom $x > 0$ får vi $\dfrac{2}{5}\ln x +C$ .
3. $\dfrac{3}{8x}$ , där $x < 0$ .
  
  $\displaystyle \int \dfrac{3}{8x} \mathrm{ d}x = \dfrac{3}{8}\ln \mid x \mid +C$ . Då $x < 0$ får vi $\dfrac{3}{8}\ln (-x) +C$ .
Integrera följande funktioner
1. $\dfrac{1-\sqrt{x}}{x}$
  
  $\dfrac{1-\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}} =\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{x} - x^{-\frac{1}{2}}$ .
  
  Alltså
  
  $\begin{array}{rcl} \displaystyle\int \dfrac{1}{x} - x^{-\frac{1}{2}} \textrm{ d}x & = & \ln \mid x \mid - \dfrac{1}{-\frac{1}{2}+1} x^{-\frac{1}{2}+1} + C \\ & = & \ln \mid x \mid - \dfrac{1}{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C \\ & = & \ln \mid x \mid - 2 \sqrt{x} + C \\ \end{array}$
2. $(\dfrac{1-\sqrt{x}}{x})^2$
  
  $(\dfrac{1-\sqrt{x}}{x})^2 = (\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}})^2 = \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x} = x^{-2} -2x^{-\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{x}$ .
  
  Alltså
  
  $\begin{array}{rcl} \displaystyle\int x^{-2} -2x^{-\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{x} \textrm{ d}x & = & \dfrac{1}{-2+1} x^{-2+1} -2\cdot \dfrac{1}{-\frac{3}{2}+1} x^{-\frac{3}{2}+1} + \ln \mid x \mid + C \\ & = & \dfrac{1}{-1} x^{-1} -2\cdot \dfrac{1}{-\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} + \ln \mid x \mid + C \\ & = & -\dfrac{1}{x} -2\cdot (-2) x^{-\frac{1}{2}} + \ln \mid x \mid + C \\ & = & -\dfrac{1}{x} +\dfrac{4}{\sqrt{x}} + \ln \mid x \mid + C \\ \end{array}$
Bestäm den primitiva funktion för $\dfrac{1}{x}, x > 0$ som för i punkten $\dfrac{1}{e}$ har vädet 3.

Då $f(x)=\dfrac{1}{x}$ är $F(x)=\ln \mid x \mid +C$ . Eftersom $x > 0$ är $F(x) = \ln x + C$ .

Eftersom $F(\dfrac{1}{e})=3$ så får vi att $\ln \dfrac{1}{e} + C = 3 \Leftrightarrow C= 4$ .

Alltså $F(x)=\ln x + 4$ .
Bestäm den primitiva funktion för $\dfrac{1}{x}, x < 0$ vars nollställe är $-e^2$ .

Då $f(x)=\dfrac{1}{x}$ är $F(x)=\ln \mid x \mid +C$ . Eftersom $x < 0$ är $F(x) = \ln (-x) + C$ .

Eftersom $F(-e^2)=0$ så får vi att $\ln (-(-e^2)) + C = 0 \Leftrightarrow C= -2$ .

Alltså $F(x)= \ln (-x) -2$ .
Bestäm den primitiva funktion för $\dfrac{1}{2x}$ som går genom punkten (1,3).

Då $f(x)=\dfrac{1}{2x}$ är $F(x)=\dfrac{1}{2}\ln \mid x \mid +C$ . Eftersom $F(1)=3$ så får vi att $\dfrac{1}{2} \ln \mid 1\mid + C = 3 \Leftrightarrow C= 3$ .

Alltså $F(x)=\dfrac{1}{2}\ln \mid x \mid + 3$ .
Bestäm den primitiva funktionen för $\dfrac{1}{x}$ , där $x > 0$ , som för värdet $\dfrac{1}{e}$ får värdet 2. Vilket nollställe har den primitiva funktionen? Rita den primitiva funktionen.

Den primitiva funktionen är $F(x) = \displaystyle\int \dfrac{1}{x} \textrm{ d}x = \ln \mid x \mid + C$ Eftersom $x > 0$ är $F(x) = \ln x + C$ .

$F$ skall gå genom punkten $(\dfrac{1}{e},2)$ , alltså $\ln \dfrac{1}{e} + C = 2$ , vi får $C = +3$ .

Nollstället, $F(x) = \ln x + 3 = 0$ ger $x = e^{-3}$ .

Grafen ser ut som
Integrera följande funktioner.
1. $x (x-\dfrac{1}{x})(x+\dfrac{1}{x})$
  
  Vi får
  
  $\displaystyle \int x (x-\dfrac{1}{x})(x+\dfrac{1}{x}) \textrm{ d}x = \displaystyle \int x^3 -\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}x^4 -\ln \mid x \mid + C$ .
2. $(1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}})^2$
  
  Vi får
  
  $\displaystyle \int (1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}})^2 \textrm{ d}x = \displaystyle \int 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x} \textrm{ d}x = \ln \mid x \mid +x -4\sqrt{x} + C$
Bestäm den primitiva funktion för $\dfrac{-x+3}{x}$ där $x > 0$ vars största värde är $3\ln(3) -1$ .

Den primitiva funktionen är $F(x)=3\ln x -x +C$ . Då $f(x)=0$ uppnår $F(x)$ sitt största värde. Detta sker då $-x+3=0 \Leftrightarrow x=3$ .

För $F$ gäller att $F(3)=3\ln(3)-1$ som ger att $3\ln[3\ln(3)-1]-[3\ln(3)-1]+C =3 \Leftrightarrow C = 2$ .

Alltså $F(x)=3\ln x -x + 2$ .
Bestäm den primitiva funktion för $\dfrac{5x-5}{x}$ som tangerar linjen $y=3$ då $x > 0$ .

Den primitiva funktionen är $F(x)=-5\ln x +5x + C$ . Den primitiva funktionen avtar och växer. Detta kan vi visa genom att undersöka $f(x)$ . $f(x)=0$ då $x=1$ . $F$ :s minsta värde uppnås i $x=1$ och minsta värde skall vara 3.

Betyder att $F$ går genom punkten $(1,3)$ som ger oss att $-5\ln 1 + 5\cdot 1 + C =3 \Leftrightarrow C =-2$ .

$F(x)=-5\ln x+5x-2$ .