MaA 4 Vektorer

13. Repetition

Uppgifter

  1. Bestäm storleken av följande vinklar.

    1. \( \measuredangle (\overline{AB},\overline{AC}) \)

      40o

    2. \( \measuredangle (\overline{AB},\overline{CA}) \)

      Vi flyttar på vektorn och får vinkeln. Vinkeln är \( 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

    3. \( \measuredangle (\overline{AC},\overline{CB}) \)

      Vi flyttar på vektorn och får vinkeln. Vinkeln är \( 40^{\circ} + 60^{\circ} = 100^{\circ} \).

  2. Låt \(\overline{a} = 2\overline{i} + 5\overline{j}\) och \(\overline{b}=\overline{i}-2\overline{j}\). Bestäm summavektorn och summavektorns enhetsvektor.

    \( \overline{v}= 3 \overline{i}+3\overline{j}\) och \(\overline{v}^0= \dfrac{1}{\sqrt{2}} (\overline{i}+\overline{j})\)

  3. Låt \(A=(2,3,1)\), \(B=(-5,7,2)\) och \(C=(1,5,3)\) vara punkter i tre dimensioner. Beräkna \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\).

    O eller \(\overline{0}\). \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA}\) eller via uträkning efter att du har bildat vektorerna.

  4. Bestäm konstanten \( t \) så att \( \overline{a} \cdot \overline{b} = 10 \) då \( \overline{a}= 2 \overline{i} + t\overline{j} + \overline{k} \) och \( \overline{b}= 3\overline{i} -4\overline{j} + 5\overline{k} \).

    Jobba med skalära produkten. Kom fram till \( t = \dfrac{1}{4} \).

  5. Fyrhörningen \( ABCD \) är en parallellogram och \( O \) är någon punkt i planet. Vi betecknar \( \overline{OA} = \overline{a} \), \( \overline{OB} = \overline{b} \) och \( \overline{OC} = \overline{c} \). Uttryck följande vektorer med hjälp av \( \overline{a} \), \( \overline{b} \) och \( \overline{c} \).
    1. \( \overline{AB} \)

      \( \overline{AB} = -\overline{a} + \overline{b} \)

    2. \( \overline{CD} \)

      \( \overline{CD} = \overline{a} - \overline{b} \)

    3. \( \overline{OD} \)

      \( \overline{OD} = \overline{a} - \overline{b} + \overline{c} \)

    4. \( \overline{BD} \)

      \( \overline{BD} = \overline{a} -2\overline{b} + \overline{c} \)

  6. Låt \( \overline{a} = \overline{i} + 3\overline{j} \) och \( \overline{b}=-3\overline{i} -2\overline{j} \). Bestäm längderna av \( \overline{a} \), \( \overline{b} \) och \( \overline{a} - \overline{b} \).

    Längden av \( \overline{a} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \) l.e.

    Längden av \( \overline{b} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{13} \) l.e.

    \( \overline{a} - \overline{b} = 4\overline{i} + 5\overline{j} \). Längden \( \mid \overline{a} - \overline{b} \mid = \sqrt{41} \) l.e.

  7. För vilket värde på \( k \) är vektorerna \( \overline{u} = 3\overline{i} - k\overline{j} \) och \( \overline{v}= 2\overline{i} +5\overline{j} \) lika riktade?

    Ställ upp ett villkor och kom fram till ekvationsparet \( 3=2t \) och \( -k = 5t \).

    För värdet \( k = -\dfrac{15}{2} \).

  8. Lös följande ekvationssystem. Räkna för hand och kontrollera svaret med hjälp av räknarprogram.
    1. \(\left\{ \begin{array}{rcl} -3x +2y & = & 5 \\ x+y & = & 0 \\ \end{array} \right.\)

      Skärningspunkten är \( (-1,1) \).

    2. \(\left\{ \begin{array}{rcl} 2x + y & = & 7 \\ 2x -5y & = & -11 \\ \end{array} \right.\)

      Skärningspunkten är \((-2,2)\).

    3. \(\left\{ \begin{array}{rcl} 2x+2y & = & 0 \\ x+y & = & 4 \\ \end{array} \right.\)

      Ekvationssystemet saknar lösningar. Ser vi på uttrycken som linjer så märker vi att linjerna har samma riktningskoefficient.

  9. Bestäm med en tiondels grads nogrannhet vinkeln mellan vektorerna \(\overline{a}=4\overline{i}+\overline{j}\) och \(\overline{b}=-2\overline{i}+\overline{j} \).

    Via skalära produkten, 139,4o.

  10. Bestäm med en tiondels grads nogrannhet vinkeln mellan vektorerna \(\overline{a}=2\overline{i}+\overline{j}-2\overline{k}\) och \(\overline{b}=3\overline{i}-2\overline{j}-\overline{k}\).

    Via skalära produkten, 58,0o.

  11. \(A=(-1,0)\), \(B=(0,3)\) och \(C=(x,y)\) utgör hörnpunkterna i en triangel. Bestäm \(x\) och \(y\) så att triangeln har en rät vinkel vid punkten C och benen AC och BC är lika långa.

    Punkterna är \((1,1)\) och \((-2,2)\).

  12. Ligger punkterna \(A=(0,1,2)\), \(B =(-2,2,0)\) och \(C=(-4,3,-1)\) på samma linje?

    Via lika riktade vektorer. Nej.
  13. För vilket värde på \( k \) har skalära produkten för vektorerna \( \overline{a} = 2\overline{i} +k\overline{j} + \overline{k} \) och \( \overline{b} = 3\overline{i} -4\overline{j} + 5\overline{k} \) värdet 10?

    Bilda den skalära produkten. Kom fram till \( k = \dfrac{1}{4} \).

  14. En triangels hörnpunkter är i origo och punkterna \( A=(9,18) \) och \( B=(21,12) \). Visa att triangeln är rätvinklig.

    Bilda vektorerna \( \overline{OA} \), \(\overline{OB} \) och \( \overline{AB} \).

    Den räta vinkeln hittar du mellan \( \overline{OA} \) och \( \overline{AB} \).

  15. En parallellogram \( OABC \) har hörnet \( O \) i origo. För parallellogrammen gäller att \( \overline{OA} = 15\overline{i} + 6\overline{j} \) och \( \overline{OB} = -12\overline{i} + 14\overline{j} \). Bestäm koordinaterna för hörnpunkterna \( A \), \( B \) och \( C \).

    Börja med att rita en bild. Utnyttja vektorerna \( \overline{OA} \) och \( \overline{OB} \) för att komma till \( A \), \( B \) och \( C \).

    \( A = (15,6) \), \( B = (-12,14) \) och \( C = (-27,8) \).

  16. Bestäm avståndet mellan punkten \( (10,1) \) och linjen som går genom punkterna \( (0,1) \) och \( (-1,4) \).

    Avståndet är \( 3\sqrt{10} \approx 9,5 \).

    Beteckna den sökta punkten med \( P \). Bilda ett uttryck för \( \overline{PX} \).

    Se sedan till att \( \overline{PX} \) är vinkelrät med vektorn \( \overline{AB} \).

    Alternativt kan du utnyttja avståndet mellan en punkt och en linje som kommer i MaA 5, \( d = \dfrac{\mid Ax_0 +By_0+C\mid}{\sqrt{A^2+B^2}} \).

  17. En linje går genom punkterna \( A=(4,1,-1) \) och \( B=(0,2,-3) \).Vilken punkt på linjen är närmast punkten \( P =(1,-2,0) \)?

    Pukten är \( (\dfrac{8}{3},\dfrac{4}{3},-\dfrac{5}{3}) \).

    Beteckna den sökta punkten med \( P \). Bilda ett uttryck för \( \overline{PX} \).

    Se sedan till att \( \overline{PX} \) är vinkelrät med vektorn \( \overline{AB} \).

  18. Planet \( T \) går genom punkterna \( A=(0,1,2) \), \( B=(1,0,1) \) och \( C=(-1,3,1) \).
    1. Är punkterna \( D=(0,2,1) \) och \( E=(3,-3,-3) \) i planet?

      D är inte. E är i planet. Bilda vektorn \( \overline{OE} \) och kom fram till att \( \overline{OE} = \overline{OA} + 2\overline{AB} - \overline{AC} \).

    2. I vilken punkt skär planet \( z \)-axeln?

      I punkten \( (0,0,6) \).

      Bilda antingen ett allmänt uttryck för planet eller inse att punkten är i planet då \( \overline{OP} = (s-t)\overline{i} +(1-s+2t)\overline{j} + (-2+s+3t)\overline{k} \). När \(x\) och \( y \)-koordinaterna har värdet 0 gäller att \( s=t=-1\).

  19. Vi startar från punkten \( A = (5,6,9) \), så att först flyger vi 6 enheter längs med vektorn \( \overline{u} = 2\overline{i} -2\overline{j} -\overline{k} \) och sedan en lika lång men motsatt sträcka längs med \( \overline{v} = 4\overline{i} -8\overline{j} +\overline{k} \). Till vilken punkt kommer vi att komma?

    6 enheter betyder 6 st enhetsvektorer av vektorn \( \overline{u} \). Utnyttja det för att röra dig längs med \( \overline{v} \).

    Vi landar på punkten \( 6\dfrac{1}{3}, -4\dfrac{2}{3}, 6\dfrac{1}{3} ) \).

    ( Ortsvektorns vektor är \( \overline{OA} + 6\overline{u}^0 -6\overline{v}^0 \).)

  20. En linje går genom punkterna \( A=(1,-2,1) \) och \( B=(-3,6,5) \). I vilken punkt skär linjen \( xy \)-planet.

    Bestäm ekvationen för linjen.

    \( \left \{ \begin{array}{l} x = 1 -4t \\ y = -2 + 8t \\ z = 1 + 4t \\ \end{array} \right. \)

    Sök då \( z \)-koordinaten har värdet 0.

    Punkten är \( (2,-4,0) \).