3. Ett reellt tal gånger en vektor

Vi utgår från vektorn $\overline{a}$ .

Rita vektorerna $2\overline{a}$ , $\dfrac{1}{3}\overline{a}$ , $-\dfrac{1}{3}\overline{a}$ och $\dfrac{4}{3}\overline{a}$ .

Då vi multiplicerar en vektor med ett reellt tal ändras längden för vektorn. Då det reella talet $r$ är

positivt är $r\overline{a}$ lika riktad med $\overline{a}$
negativt är $r\overline{a}$ olika riktad med $\overline{a}$ .

Längden av vektorn $\mid r \overline{a}\mid =\mid r \mid \overline{a}\mid$ .

Om $r=0$ eller om $\overline{a}$ är en nollvektor blir $r\overline{a}$ en nollvektor.

Exempel 1 Punkten P delar sträckan AB i förhållandet 2:5. Uttryck $\overrightarrow{AP}$ och $\overrightarrow{PB}$ som delar av $\overrightarrow{AB}$ .

Multiplikation av vektorer med reella tal är associativt. Låt $r$ och $s$ vara reella tal och $\overline{a}$ en vektor. Då gäller $r(s\overline{a}) =(rs)\overline{a}$ .

Till exempel: $-2(3\overline{a})=(-2\cdot 3)\overline{a}=-6\overline{a}$ .

För multiplikation av vekorer med reella tal gäller även distributiva lagen. $(r+s)\overline{a} = r\overline{a} + s\overline{a}$ .

Till exempel: $3\overline{a}-2\overline{a} = (3-2)\overline{a} = \overline{a}$ .

Vidare gäller följande $r(\overline{a}+\overline{b}) = r\overline{a} + r\overline{b}$ .

Till exempel: $-3(\overline{a} - 2\overline{b}) = -3\overline{a} +6\overline{b}$ .

Exempel 2 Punkten $P$ delar sträckan $AB$ i förhållandet 1:7. Låt $O$ vara en punkt i planet. Uttryck vektorn $\overrightarrow{OP}$ som delar av $\overline{a}=\overrightarrow{OA}$ och $\overline{b}=\overrightarrow{OB}$ .

Enhetsvektor

Enhetsvektorer är de vektorer som har längden 1. Enhetsvektorn för $\overline{a}^0 = \dfrac{1}{\mid \overline{a}\mid }\overline{a}$ .

Exempel 3 Vektorn $\overline{a}$ har längden 8 och vektorn $\overline{b}$ har längden 6. Uttryck vektorn $\overline{b}$ med hjälp av $\overline{a}$ då

$\overline{a}$ och $\overline{b}$ är lika riktade,
$\overline{a}$ och $\overline{b}$ är olika riktade.

Lösning

För att uttrycka $\overline{b}$ med hjälp av $\overline{a}$ så behöver vi vektorn $\overline{a}$ som en enhet lång. Vi vill ha $\overline{a}$ :s enhetsvektor.

$\overline{a}^0=\dfrac{1}{\mid \overline{a}\mid}\overline{a} = \dfrac{1}{8}\overline{a}$ .

$\overline{b}=6 \cdot \dfrac{1}{8}\overline{a} = \dfrac{3}{4}\overline{a}$ . Talet framför $\overline{a}$ måste vara positivt eftersom $\overline{a}$ och $\overline{b}$ är lika riktade.
$\overline{b}=6 \cdot (-\dfrac{1}{8}\overline{a}) = -\dfrac{3}{4}\overline{a}$ . Talet framför $\overline{a}$ måste vara negativt eftersom $\overline{a}$ och $\overline{b}$ är olika riktade.

Uppgifter

Uttryck vektorerna $\overline{b}$ , $\overline{c}$ , $\overline{d}$ och $\overline{e}$ med hjälp av $\overline{a}$ .

$\overline{b}=\dfrac{1}{2}\overline{a}$

$\overline{c}=-\overline{a}$

$\overline{d}=\dfrac{3}{2}\overline{a}$

$\overline{e}=-\dfrac{3}{2}\overline{a}$
Punkten P delar sträckan AB i förhållandet 2:1. Uttryck $\overrightarrow{AP}$ och $\overrightarrow{PB}$ som delar av $\overrightarrow{AB}$ .

$\overrightarrow{AP}=\dfrac{2}{2+1}\overrightarrow{AB} =\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{PB}=\dfrac{1}{2+1}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
Punkten $P$ delar sträckan $AB$ i förhållandet 3:5. Låt $O$ vara någon punkt som inte är på linjen. Uttryck vektorn $\overrightarrow{OP}$ med hjälp av vektorerna $\overline{a}=\overrightarrow{OA}$ och $\overline{b}=\overrightarrow{OB}$ .

Rita skiss och bygg vidare från $\overrightarrow{OA}$ och $\overrightarrow{OB}$ .

Vi får att

$\begin{array}{rcll} \overrightarrow{OP} & = & \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} \\ & = & \overline{a} + \frac{3}{3+5} \overrightarrow{AB} \\ & = & \overline{a}+ \frac{3}{8}(-\overline{a}+\overline{b}) \\ & = & \overline{a}-\frac{3}{8}\overline{a}+\frac{3}{8}\overline{b} \\ & = & \frac{5}{8}\overline{a}+\frac{3}{8}\overline{b} \end{array}$

Det är ingen skillnad om vi går via A eller B. Vi får samma resultat: $\dfrac{5}{8}\overline{a} +\dfrac{3}{8}\overline{b}$ .
I vilket förhållande delar $P$ sträckan $A B$ då
1. $\overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ .
  
  Förhållandet är 1:2.
2. $\overrightarrow{AP} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ .
  
  Förhållandet är 2:3.
3. $\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AP}$ .
  
  Förhållandet är 2:1.
Uttryck vektorn $\overrightarrow{OP}$ som delar av $\overline{a}$ och $\overline{b}$ då P delar sträckan AB i förhållandet 2:3. Låt $O$ vara en punkt i planet och $\overline{a}=\overrightarrow{OA}$ och $\overline{b}=\overrightarrow{OB}$

Rita en bild och gå via $\overrightarrow{OA}$ och $\overrightarrow{AP}$ .

Vi får att

$\begin{array}{rcll} \overrightarrow{OP} & = & \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} \\ & = & \overline{a} + \frac{2}{2+3} \overrightarrow{AB} \\ & = & \overline{a} + \frac{2}{5} (-\overline{a} +\overline{b}) \\ & = & \overline{a} - \frac{2}{5}\overline{a} +\frac{2}{5}\overline{b} \\ & = & \frac{3}{5}\overline{a} +\frac{2}{5}\overline{b} \\ \end{array}$

Vi får samma svar oberoedene vilken väg som vi går, via A eller B. Svaret är $\dfrac{3}{5}\overline{a}+\dfrac{2}{5}\overline{b}$ .
Bestäm punkten där vi stannar då vi startar från origo och rör oss längs med $\overline{a}$ och $\overline{b}$
1. $2\overline{a} +\overline{b}$ .
  
  Punkten är $(4,-3)$ .
2. $-\overline{a} -\overline{b}$ .
  
  Punkten är $(-1,1)$ .
3. $\dfrac{1}{2}\overline{a} -2\overline{b}$ .
  
  Punkten är $(5\dfrac{1}{2}, -3)$ .
Vi låter vektorerna $\overline{a}$ , $\overline{b}$ och $\overline{c}$ ha följande notation: $\overline{a} = 60$ meter österut, $\overline{b} = 50$ meter norrut och $\overline{c} = 20$ meter uppåt.

Du startar från krysset på kartan. Din totala färd som du färdas är angivet med ett uttryck. Var stannar du? På marken, i luften, i vattnet eller i marken?

En ruta motsvaras av 10 meter och en höjdkurva är 5 meter.
1. $-\dfrac{1}{6}\overline{a}$
  
  Vi färdas 10 m västerut. Vi är på marken.
2. $5(-\dfrac{1}{6}\overline{a})+\overline{b}$
  
  Vi färdas 50 m västerut och 50 m norrut. Vi är på sjön.
3. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot 5(-\dfrac{1}{6}\overline{a})+\overline{b}$
  
  Vi färdas $\dfrac{5}{\sqrt{2}} \cdot 10 \approx 35,4$ m västerut och 50 m norrut. Vi är i marken, kullen.
4. $2\overline{b} + \dfrac{2}{3}(\overline{a}-3\overline{b})$
  
  Då vi förenklar får vi $\dfrac{2}{3}\overline{a}$ . Vi färdas $\dfrac{2}{3} \cdot 60 = 40$ meter österut. Vi är på marken.
5. $(\overline{c}+2\overline{b}) + \dfrac{2}{3}(\overline{a}-3\overline{b}+\dfrac{3}{2}\overline{c})$
  
  Då vi förenklar får vi $\dfrac{2}{3}\overline{a} +2\overline{c}$ . Vi 40 meter österut och 40 m upp i luften.
Vektorerna $¯ ¯ ¯ a$ och $¯ ¯ b$ är enhetsvektorer. Bestäm längden av $4 ¯ ¯ ¯ a + 5 ¯ ¯ b$ då
1. $\overline{a}$ och $\overline{b}$ är lika riktade.
  
  Eftersom $\mid \overline{a} \mid =1$ och $\mid \overline{b} \mid =1$ och att $\overline{a}$ och $\overline{b}$ är lika riktade får vi att $4\overline{a}+5\overline{b} = 4\cdot 1 +5\cdot 1 =9$ .
2. $\overline{a}$ och $\overline{b}$ är olika riktade.
  
  Eftersom $\mid \overline{a} \mid =1$ och $\mid \overline{b} \mid =1$ och att $\overline{a}$ och $\overline{b}$ är olika riktade får vi att $\mid 4\overline{a}-5\overline{b}\mid = \mid 4\cdot 1 -5\cdot 1\mid =\mid-1\mid =1$ .
3. $\overline{a}$ och $\overline{b}$ är vinkelräta.
  
  Eftersom $\mid \overline{a} \mid =1$ och $\mid \overline{b} \mid =1$ och att $\overline{a}$ och $\overline{b}$ är vinkelräta utnyttjar vi Pythagoras får vi att $\mid 4\overline{a}+5\overline{b}\mid = \sqrt{(4\cdot 1)^2+(5\cdot 1)^2} =\sqrt{41} \approx 6,40$ l.e.
Antag att $∣ ¯ ¯ ¯ a ∣= 4$ , $∣ ¯ ¯ b ∣= 6$ och $∣ ¯ ¯ c ∣= 8$ samt att $¯ ¯ ¯ a ↑↑ ¯ ¯ b$ och att $¯ ¯ ¯ a ↑↓ ¯ ¯ c$ . Uttryck
1. Enhetsvektorerna $\overline{a}^0$ , $\overline{b}^0$ och $\overline{c}^0$ med hjälp av vektorerna $\overline{a}$ , $\overline{b}$ och $\overline{c}$ .
  
  $\overline{a}^0 = \dfrac{1}{\mid \overline{a} \mid}\overline{a} =\dfrac{1}{4}\overline{a}$
  
  $\overline{b}^0 = \dfrac{1}{\mid\overline{b}\mid}\overline{b} =\dfrac{1}{6}\overline{b}$
  
  $\overline{c}^0 = \dfrac{1}{\mid \overline{c}\mid}\overline{c} =\dfrac{1}{8}\overline{c}$
2. Vektorerna $\overline{b}$ och $\overline{c}$ med hjälp av $\overline{a}$ .
  
  $\overline{b} = 6\cdot \overline{a}^0 = 6\cdot \dfrac{1}{4}\overline{a} = \dfrac{6}{4}\overline{a} = \dfrac{3}{2}\overline{a}$
  
  $\overline{c}= 8\cdot \overline{a}^0 = 8(-\dfrac{1}{4}\overline{a}) =-2\overline{a}$
Antag att $¯ ¯ ¯ a \neq ¯ ¯ ¯ 0$ och $¯ ¯ b \neq ¯ ¯ ¯ 0$ och att påståendena i deluppgifterna stämmer. Jämför längden och riktningen för vektorn $¯ ¯ ¯ a$ med längden och riktningen för vektorn $¯ ¯ b$ .

Behandla uttrycken som ekvationer, lös modigt på.
1. $2\overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+\overline{b}$ .
  
  Vi får att
  
  $\begin{array}{rcll} 2\overline{a}-\overline{b} & = & \overline{a}+\overline{b} \\ \overline{a} = 2\overline{b} \\ \end{array}$
  
  $\overline{a}$ och $\overline{b}$ är lika riktade. $\overline{a}$ är dubbelt så lång som $\overline{b}$ .
2. $\overline{a} +2(\overline{a}-\overline{b})=-\overline{b}$ .
  
  Vi får att
  
  $\begin{array}{rcll} \overline{a} +2(\overline{a}-\overline{b}) & = & -\overline{b} \\ \overline{a} +2\overline{a}-2\overline{b} & = & -\overline{b} \\ 3\overline{a} & = & \overline{b} \\ \end{array}$
  
  $\overline{a}$ och $\overline{b}$ är lika riktade. $\overline{a}$ är en tredjedel av $\overline{b}$ :s längd.
3. $-2(\overline{a} -\overline{b})-3\overline{a}=-(\overline{a}-2\overline{b})-4\overline{a}$
  
  Vi får att
  
  $\begin{array}{rcll} -2(\overline{a} -\overline{b})-3\overline{a} & = & -(\overline{a}-2\overline{b})-4\overline{a} \\ -2\overline{a} +2\overline{b}-3\overline{a} & = & -\overline{a}+2\overline{b}-4\overline{a} \\ -5\overline{a} +2\overline{b} & = & -5\overline{a}+2\overline{b} \\ 0 & = & 0\\ \end{array}$
  
  Alla vektorer $\overline{a}$ och $\overline{b}$ löser ekvationen. Vi kan inte säga något om $\overline{a}$ och $\overline{b}$ .
Punkten $P$ delar sträckan $AB$ i förhållandet $m:n$ . Låt $O$ vara en punkt i planet och beteckna $\overline{a}=\overrightarrow{OA}$ , $\overline{b}=\overrightarrow{OB}$ och $\overline{p}=\overrightarrow{OP}$ . Visa att $\overline{p}=\dfrac{n\overline{a}+m\overline{b}}{m+n}.$ .

Rita bild och bilda modigt ett förhållande. Arbeta vidare från det.

Situationen är följande:

Vi får att

$\begin{array}{rcl} \overline{p} & = & \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} \\ & = & \overline{a}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB} \\ & = & \overline{a}+\frac{m}{m+n}(-\overline{a}+\overline{b}) \\ & = & \frac{m+n}{m+n}\overline{a}-\frac{m}{m+n}\overline{a}+\frac{m}{m+n}\overline{b} \\ & = & \frac{n}{m+n}\overline{a}+\frac{m}{m+n}\overline{b} \\ & = & \dfrac{n\overline{a} +m\overline{b}}{m+n} \\ \end{array}$