MaA 4 Vektorer

11. Geometrisk tolkning av skalär produkt

Nu tar vi och utgår från vektorer men vi kombinerar dem med cosinussatsen, a2=b2+c22bccosαa2=b2+c22bccosα, för att komma åt skalära produkten.

Härledning

Vi har ¯a=x1¯i+y1¯j+z1¯k¯¯¯a=x1¯i+y1¯j+z1¯¯¯k och ¯b=x2¯i+y2¯j+z2¯k¯¯b=x2¯i+y2¯j+z2¯¯¯k.

Eftersom vi placerar ¯a¯¯¯a och ¯b¯¯b så att de börjar i samma punkt så är den längre sidan ¯a¯b¯¯¯a¯¯b.

Då vi skriver om cosiunssatsen så att den passar vår triangel får vi att ¯a¯b2=∣¯a2+¯b22¯a∣∣¯bcosα¯¯¯a¯¯b2=¯¯¯a2+¯¯b22¯¯¯a¯¯bcosα.

Längderna av de kortare sidorna är ¯a2=x21+y21+z21¯¯¯a2=x21+y21+z21 och ¯b2=x22+y22+z22¯¯b2=x22+y22+z22.

Kvadraten av den tredje längden är

¯a¯b2=(x1x2)2+(y1y2)2+(z1z2)2=x212x1x2+x22+y212y1y2+y22+z212z1z2+z22=x21+y21+z21+x22+y22+z222x1x22y1y22z1z2=¯a2+¯b22(x1x2+y1y2+z1z2).¯¯¯a¯¯b2=(x1x2)2+(y1y2)2+(z1z2)2=x212x1x2+x22+y212y1y2+y22+z212z1z2+z22=x21+y21+z21+x22+y22+z222x1x22y1y22z1z2=¯¯¯a2+¯¯b22(x1x2+y1y2+z1z2).

När vi jämför hur vi uttryckte cosinussasten med sidorna i vår triangel och hur vi kan uttrycka ¯a¯b2¯¯¯a¯¯b2 så märker vi att vi har nästan samma termer. Det som skiljer är x1x2+y1y2+z1z2x1x2+y1y2+z1z2 och ¯a∣∣¯bcosα¯¯¯a¯¯bcosα. För att vi skall ha identitet så får vi att

x1x2+y1y2+z1z2=¯a¯b=∣¯a∣∣¯bcosα.x1x2+y1y2+z1z2=¯¯¯a¯¯b=¯¯¯a¯¯bcosα.

Det vi får är skalära produkten för två vektorer.

Skalära produkten mellan ¯a¯¯¯a och ¯b¯¯b får vi som ¯a¯b=∣¯a∣∣¯bcos(¯a,¯b)¯¯¯a¯¯b=¯¯¯a¯¯bcos(¯¯¯a,¯¯b).

Skalära produkten är en operation mellan två vektorer som ger ett värde. Med hjälp av skalära produkten kan vi säga om hur två vektorer förhåller sig till varandra.

Vinkeln mellan två vektorer bestämmer vi som cos(¯a,¯b)=¯a¯b¯a∣∣¯b.

Vinkeln mellan vektorerna ¯a och ¯b kan vi uppskatta genom att bilda ¯a¯b. Är

  • ¯a¯b<0 är vinkeln trubbig
  • ¯a¯b=0 är vinkeln rät
  • ¯a¯b>0 är vinkeln spetsig.

Exempel 1 Bestäm vinkeln mellan vektorerna ¯a=¯i2¯j+¯k och ¯b=2¯i+¯j2¯k.

Uppgifter

  1. Bestäm typ av vinkel som följande vektorer bildar. Du behöver inte veta storleken, utan bestäm värdet av den skalära produkten och svara utgående från det.

    PåståendeSpetsigRätTrubbig
    3¯i2¯j och 3¯i+¯j
    4¯i2¯j och ¯i+2¯j
    ¯i¯j och ¯j
    3¯i¯j och ¯i+2¯j
    ¯i+2¯j och 3¯i+¯j
    ¯i+2¯j och 5¯i+¯j

    PåståendeSpetsigRätTrubbig
    3¯i2¯j och 3¯i+¯j
    4¯i2¯j och ¯i+2¯j
    ¯i¯j och ¯j
    3¯i¯j och ¯i+2¯j
    ¯i+2¯j och 3¯i+¯j
    ¯i+2¯j och 5¯i+¯j

  2. Bestäm vinkeln mellan följande vektorer med en tiondels grad noggrannhet.
    1. ¯i+2¯j och 3¯i+2¯j.

      Vi får

      ¯a¯b=13+22=7.

      ¯a∣=12+22=5.

      ¯b∣=32+22=13.

      cos(¯a,¯b)=7513

      Vi får 29,7o.

    2. ¯i+¯j och 3¯i¯j.

      Vi får

      ¯a¯b=13+1(1)=2.

      ¯a∣=12+12=2.

      ¯b∣=32+(1)2=10.

      cos(¯a,¯b)=2210

      Vi får 63,4o.

    3. ¯i+2¯j och 2¯i¯j.

      Vi får

      ¯a¯b=12+2(1)=4.

      ¯a∣=(1)2+22=5.

      ¯b∣=22+(1)2=5.

      cos(¯a,¯b)=455

      Vi får 143,1o.

  3. Hörnen för triangeln ABC är i punkterna A=(13,43), B=(17,42) och C=(15,33). Är vinkeln vid punkten B spetsig eller trubbig?

    Vi bilar den skalära produkten för ¯BA¯BC och undersöker värdet.

    Vi får att ¯BA=30¯i+¯j och ¯BC=2¯i75¯j. Skalära produkten ¯BA¯BC=15.

    Vinkeln vid B är trubbig \).

  4. En triangel bildas av punkterna A=(0,1,2), B=(1,0,1) och C=(2,2,3). Bestäm storleken av vinklarna för triangeln med en tiondels decimals noggrannhet.

    Situationen är följande:

    Från figuren ser vi att vinklarna vid A och C är spetsiga medan B är trubbig.

    Vi bildar vektorerna.

    ¯a=AB=(10)¯i+(0(1))¯j+(1(2))¯k=¯i+¯j+3¯k

    ¯b=AC=(20)¯i+(2(1))¯j+(3(2))¯k=2¯i+3¯j+5¯k

    ¯c=BC=(21)¯i+(20)¯j+(31)¯k=3¯i+2¯j+2¯k

    Längderna av vektorerna är

    ¯a∣=11

    ¯b∣=38

    ¯c∣=17

    De skalära produkterna är

    ¯a¯b=16

    ¯a¯c=5

    ¯b¯c=22

    Vi får vinklarna

    (¯a,¯b)=38,5

    (¯a,¯c)=68,6

    (¯b,¯c)=30,1

    Eftersom vi får den mindre vinkeln med hjälp av skalära produkten är vinkeln (¯a,¯c)=18068,6=111,4.

    Triangelns vinkelsumma är 38,5o+111,4o+30,1o = 180o.

  5. I triangeln ABC gäller att ¯AB=3¯i+¯j¯k och ¯AC=¯i¯j+¯k. Bestäm storleken av vinklarna i triangeln med en grads noggrannhet.

    Vi får A80,B29 och C71.

  6. För vilket värde på k har vinkeln mellan ¯a=2¯i2¯j och ¯b=k¯i2¯j värdet 45?

    cos45=22=12.

    ¯a¯b=2k22=2k4.

    ¯a∣=22+(2)2=8.

    ¯b∣=k2+(2)2=k2+4.

    Vi får ekvationen

    12=2k48k2+4

    Antingen löser vi ekvationen genom att kvadrera, 12=(2k4)28(k2+4) eller på räknare.

    Vi får k=0.

  7. För parallellogrammen ABCD gäller att diagonalvektorerna AC=6¯i+2¯j och DB=2¯i2¯j. Bestäm storleken av vinklarna i parallellogrammen med noggrannheten en tiondels grad.

    Situationen är följande:

    Riktningskoefficienten för diagonalen AC=26=13. Vi har k=tanα. Lutningen är 18,43o. Det är frågan om vinlen α.

    Riktningskoefficienten för diagonalen DB=22=1. Lutningen är -45o. Då är β=45.

    HÄR!!!

    Det betyder att α+γ+δ=135.

    Vinkeln mellan diagonalerna är 63,43 grader. Det är frågan om p1. Se till att du bestämmer den!

    Då är vinkeln p2=18063,43=116,57.

    Vi bildar följande samband.

    α=18,43

    β+α+116,57=180

    δ+γ+63,43=180

    α+β+γ+δ=180

    Storleken av den mindre vinkeln är 45 och den större är 135.

  8. För vilka värden på k är triangeln som bestäms av punkterna (0,3), (3,4) och (1,k) spetsig i vinkeln som bildas i (1,k)?

    Vilka värden har skalära produkten av en spetsig vinkel? Bilda modigt en olikhet.

    Vi namnger punkterna A=(0,3), B=(3,4) och C=(1,k).

    Vi bildar vektorerna som vi behöver.

    CA=(01)¯i+(3k)¯j=¯i+(3k)¯j

    CB=(31)¯i+(4k)¯j=2¯i+(4k)¯j

    Vinkeln skall vara spetsig. Det betyder att den skalära produkten skall ha positiva värden. Vi bildar en olikhet, 12+(3k)(4k)>0.

    Olikeheten löser du för hand eller på räknare. Då k<2 eller då k>5.

  9. En linje går genom punkterna (1,0,3) och (1,3,2). Bestäm storleken av vinkeln som linjen bildar med följande plan.
    1. xy-planet.

      Riktningsvektorn för linjen är ¯s=(11)¯i+(03)¯j+(32)¯k=2¯i3¯j+¯k.

      Eller så kommer du till ¯s=2¯i+3¯j¯k.

      Den vektor som är i xy-planet och har samma riktning är ¯a=2¯i3¯j.

      Vi bestämmer vinkeln mellan dessa.

      ¯a¯s=2(2)3(3)+01=13.

      ¯a∣=22+(3)2=13.

      ¯s∣=(2)2+(3)2+12=14.

      cos(¯a,¯s)=131314

      Vinkeln är 15,5.

    2. yz-planet.

      Den vektor som är i yz-planet och har samma riktning är ¯a=3¯j+¯k.

      Vi bestämmer vinkeln mellan dessa.

      ¯a¯s=203(3)+11=10.

      ¯a∣=(3)2+12=10.

      ¯s∣=(2)2+(3)2+12=14.

      cos(¯a,¯s)=101014

      Vinkeln är 32,3.

  10. Ett flygplan startar från punkten (2,4,0) och lyfter i riktningen 2¯i+3¯j+¯k. Hur stor vinkel bildar flygplanets rutt mot marken? Svara med noggrannheten 0,1 grader.

    Rita bild och fundera. Hur kan du uttrycka den vektor som går längs med marken och beskriver planets rutt?

    Vektorn som beskrivers flygplanets rutt längd med marken är ¯s=2¯i+3¯j.

    Vektorn som beskriver flygplanets rutt är ¯a=2¯i+3¯j+¯k.

    Vi bestämmer vinkeln mellan dessa.

    ¯a¯s=22+33+10=13.

    ¯a∣=22+32+12=14.

    ¯s∣=22+32=13.

    cos(¯a,¯s)=131413

    Vinkeln är 15,5.