MaA 2 Funktioner och ekvationer 1

8. Rotformeln, andragradsekvationer

Lös ekvationerna

  1. \(x^2-9=0\)
  2. \(3x^2-2x=0\)

Lösning

  1. Vi får att

    \(\begin{array}{rcll} x^2-9 & = & 0 & \textrm{Flytta över termerna med x till vänster, de andra till höger.} \\ x^2 & = & 9 & \mid \sqrt{\quad} \textrm{ Vi tar roten av bägge leden.}\\ x & = & \pm 3 & \textrm{Märk att vi har två rötter.}\\ \end{array} \)

  2. och

    \(\begin{array}{rcll} 3x^2 -2x & = & 0 & \textrm{Vi bryter ut det gemensamna.}\\ x(3x-2) & = & 0 & \textrm{Vi utnyttjar nollregeln.}\\ \end{array} \)

    Uttrycket får värdet 0 om antingen då \( x=0 \) eller då \( 3x-2=0 \).

    \( \begin{array}{rcll} x =0 & \textrm{eller} & 3x-2=0 & \textrm{}\\ & & x=\dfrac{2}{3} & \end{array}\)

    Två rötter, \( x=0 \) eller \( x=\dfrac{2}{3} \) löser ekvationen.

Lös ekvationen \(x^2+x=6\).

Denna ekvation kan vi inte lösa som ovan. Vi behöver bättre verktyg.

Därför härleder vi rotformeln åt oss så att vi kan lösa (nästan) vilken andragradsekvation som hellst.

Härledning

Vi börjar med

\(\begin{array}{rcl} ax^2 + bx +c & = & 0 \\ ax^2 + bx & = & -c \\ \end{array}\)

Vi utnyttjar oss av kvadratkompletering och kommer ihåg hur man kvadrerar, \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

\(\begin{array}{rcl} (\sqrt{a}x + \dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2 & = & -c + (\dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2 \end{array}\)

Eftersom \(bx\) är dubbla produkten som bör uppfylla villkoret \(bx = \heartsuit \cdot \sqrt{a} \cdot x \cdot 2\). Vi får att \(\heartsuit = \dfrac{b}{2\sqrt{a}}\) och vi kompenserar i höger led med samma term som vi lägger till i vänster led.

Kontroll: \(ax^2 + \dfrac{b}{2\sqrt{a}} \cdot 2 \cdot \sqrt{a} \cdot x + (\dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2 = -c + (\dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2\).

Tillbaka till härledningen:

\(\begin{array}{rcll} (\sqrt{a}x + \dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2 & = & -c + \dfrac{b^2}{4a} & \mid \sqrt{\quad} \\ \sqrt{a}x + \dfrac{b}{2\sqrt{a}} & = & \pm\sqrt{-c + \dfrac{b^2}{4a}} \\ \sqrt{a}x & = & - \dfrac{b}{2\sqrt{a}} \pm\sqrt{-c + \dfrac{b^2}{4a}} & \mid \text{Vi förlänger $c$ med $4a$} \\ \sqrt{a}x & = & \dfrac{-b}{2\sqrt{a}} \pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a}} \\ \sqrt{a}x & = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}} & \mid /\sqrt{a} \\ x & = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} \\ x & = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \end{array}\)

Kontentan av härledningen blir att ekvationen \(ax^2 +bx +c=0\) har rötterna \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

Nu har vi verktyg att lösa \(x^2+x=6\).

Lösning

Vi får att

\(\begin{array}{rcll} x^2+x & = & 6 & \textrm{Vi flyttar alla termer till vänster sida.}\\ x^2 +x -6 & = & 0 \end{array} \)

Vi använder oss av rotformeln, \( a= 1 \), \( b=1 \) och \( c=-6 \).

\( \begin{array}{rcll} x & = & \dfrac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4\cdot 1 \cdot -6}}{2\cdot 1} & \textrm{Vi räknar ut ett värde.}\\ x & = & \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} & \textrm{}\\ x & = & \dfrac{-1 \pm 5}{2} & \textrm{Vi delar upp det som två rötter.}\\ x= \dfrac{-1-5}{2} & \textrm{eller} & x= \dfrac{-1+5}{2} & \textrm{Sista förenklingen,}\\ x=\dfrac{-6}{2}=-3 & & x=\dfrac{4}{2}=2 & \textrm{och vi får rötterna.}\\ \end{array}\)

Exempel 1 Lös \(x^2-x-2=0\).

Lösning

\(\begin{array}{rcll} x^2-x-2 & = & 0 & \textrm{}a=1 \textrm{, } b=-1 \textrm{ och } c=-2\\ x & = & \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 -4\cdot 1(-2)}}{2 \cdot 1} & \textrm{}\\ x & = & \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2} & \textrm{}\\ x & = & \dfrac{1 \pm 3}{2} & \textrm{Delar upp det till två rötter.}\\ x = \dfrac{1-3}{2} & \textrm{eller} & x = \dfrac{1+3}{2} & \textrm{}\\ x = \dfrac{-2}{2}=-1 & & x=\dfrac{4}{2}=2 & \textrm{}\\ \end{array}\)

Exempel 2 Lös \(2x^2+4x=6\).

Lösning

\(\begin{array}{rcll} 2x^2+4x & = & 6 & \textrm{Flytta alla termer till vänster sida.}\\ 2x^2 +4x -6 & = & 0 & \textrm{}a=2 \textrm{, } b=4 \textrm{ och } c=--6\\ x & = & \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 -4\cdot 2(-6)}}{2 \cdot 2} & \textrm{Vi förenklar och får att}\\ x & = & \dfrac{-4 \pm \sqrt{64}}{4} & \textrm{}\\ x & = & \dfrac{-4 \pm 8}{4} & \textrm{Dela upp till två rötter.}\\ x= \dfrac{-4-8}{4} & \textrm{eller} & x= \dfrac{-4+8}{4} & \textrm{}\\ x=\dfrac{-12}{4}= -3 & & x=\dfrac{4}{4}=1 & \textrm{}\\ \end{array}\)

Exempel 3 Lös \( 1 + \dfrac{12}{x^2} = \dfrac{8}{x} \).

Lösning

Vi förenklar uttrycket och använder oss av rotformeln. Eftersom vi har rationella uttryck, bråkuttryck, måste vi undersöka definitionsmängden.

Termerna \( \dfrac{12}{x^2} \) och \( \dfrac{8}{x} \) är inte definierade då \( x = 0 \).

Vi löser ekvationen

\( \begin{array}{rcl} 1 + \dfrac{12}{x^2} & = & \dfrac{8}{x} & \mid \cdot x^2 \not=0\\ x^2\cdot 1 + x^2\cdot \dfrac{12}{x^2} & = & x^2\cdot \dfrac{8}{x} \\ x^2 + 12 & = & 8x \\ x^2 -8x +12 & = & 0 \\ \end{array} \)

Insättning i rotformeln ger \( x=\dfrac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 12}}{2\cdot 1} = \dfrac{8\pm\sqrt{16}}{2} = \dfrac{8\pm 4}{2}\)

Våra rötter är \( x_1 = \dfrac{8-4}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \) och \( x_2 = \dfrac{8+4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 \).

Som det sista jämför vi rötterna med definitionsmängden, \( x \not= 0 \).

Bägge rötter duger.

Lösningarna för ekvationen \(ax^2+bx+c =0\) får vi genom rotformeln.

Rotformel är \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

Uppgifter

  1. Lös följande ekvationer genom att utnyttja kvadratroten.
    1. \(x^2-4=0\)

      \(\begin{array}{rcll} x^2-4 & = & 0 \\ x^2 & = & 4 & = & \mid \sqrt{\,} \\ x & = & \pm 2\\ \end{array}\)
    2. \(-9+x^2=0\)

      \(\begin{array}{rcll} -9+x^2 & = & 0 \\ x^2 & = & 9 & = & \mid \sqrt{\,} \\ x & = & \pm 3 \\ \end{array}\)
    3. \(x^2-3=0\)

      \(\begin{array}{rcll} x^2-3 & = & 0 \\ x^2 & = & 3 & = & \mid \sqrt{\,}\\ x & = & \pm \sqrt{3}\\ \end{array}\)
  2. Lös följande ekvationer genom att utnyttja kvadratroten.
    1. \(-16 + x^2 = 0\)

      \( \begin{array}{rcll} -16 + x^2 & = & 0 \\ x^2 & = & 16 & = & \mid \sqrt{\,} \\ x & = & \pm 4 \end{array}\)
    2. \(x^2 -25=0\)

      \(\begin{array}{rcll} x^2 -25 & = & 0 \\ x^2 & = & 25 & = & \mid \sqrt{\,} \\ x & = & \pm 5 \\ \end{array}\)
    3. \(x^2 +9 =0\)

      \(\begin{array}{rcll} x^2 +9 & = & 0 \\ x^2 & = & -9 \\ \end{array}\)
  3. Lös följande ekvationer genom att utnyttja dig av nollregeln.
    1. \(2x^2-4x =0\)

      \( \begin{array}{rcl} 2x^2-4x & = & 0 \\ 2x(x-2) & = & 0\\ \end{array} \)

      Alltså \(2x=0 \Leftrightarrow x=0\) eller \(x-2=0 \Leftrightarrow x=2\)

    2. \(x^2+4x=0\)

      \(\begin{array}{rcl} x^2+4x & = & 0\\ x(x+4) & = & 0\\ \end{array}\)

      Alltså \(x=0\) eller \(x+4=0 \Leftrightarrow x=-4\).

    3. \(x^2-x=0\)

      \(\begin{array}{rcl} x^2-x & = & 0 \\ x(x-1) & = & 0\\ \end{array}\)

      Alltså \(x=0\) eller \(x-1=0 \Leftrightarrow x=1\).

  4. Lös följande ekvationer genom att utnyttja dig av nollregeln. De kan kännas lite svårare men ge inte upp.
    1. \(3x^2 = 6x\)

      \(\begin{array}{rcl} 3x^2 & = & 6x \\ 3x^2-6x & = & 0 \\ 3x(x-2) & = & 0 \\ \end{array}\)

      Alltså \(3x=0 \Leftrightarrow x=0\) eller \(x-2 =0 \Leftrightarrow x=2\).

    2. \(2x^2-x=0\)

      \(\begin{array}{rcl} 2x^2-x & = & 0 \\ x(2x-1) & = & 0\\ \end{array}\)

      Alltså \(x=0\) eller \(2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\).

    3. \(x^2=-2x\)

      \(\begin{array}{rcl} x^2 & = & -2x \\ x^2+2x & = & 0\\ x(x+2) & = & 0\\ \end{array}\)

      Alltså \(x=0\) eller \(x+2=0 \Leftrightarrow x=-2\).

  5. Lös
    1. \(x^2+x-2=0\)

      Vi har \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1(-2)}}{2\cdot 1}\) som har lösningarna \(x=1\) eller \(x=-2\).

    2. \(x^2+3=4x\)

      \(x^2+3=4x \Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)

      Vi har \(x=\dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}\) som ger \(x=3\) eller \(x=1\).

    3. \(x^2-x=6\)

      \( x^2-x=6 \Leftrightarrow x^2-x-6=0\)

      Lösningarna är \(="x=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1(-6)}}{2\cdot}\). Alltså \(x=-2\) eller \(x=3\).

  6. Lös
    1. \(2x^2-6x+4=0\)

      Vi får att \(x=\dfrac{6\pm\sqrt{6^2-4\cdot2\cdot4}}{2\cdot 2}\) som ger att \(x=1\) eller \(x=2\).

    2. \(3x^2-6x-9=0\)

      Vi får att \(x=\dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot3(-9)}}{2\cdot3}\) som ger att \(x=-1\) eller \(x=3\).

    3. \(2x^2+10x+12=0\)

      Vi får att \(x=\dfrac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot2\cdot12}}{2\cdot 2}\) som ger att \(x=-3\) eller \(x=-2\).

  7. Lös
    1. \(x^2+\dfrac{3}{2}x-1=0\)

      Vi får att \(x=\dfrac{-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{(\dfrac{3}{2})^2-4\cdot 1(-1)}}{2\cdot 1}\) som har rötterna \(x= \dfrac{1}{2} \) och \( x = -2 \).

    2. \(x^2+6\dfrac{1}{3}x+2=0\)

      Vi får \(x=\dfrac{-6\dfrac{1}{3}\pm\sqrt{(6\dfrac{1}{3})^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}\) som ger att \(x=-\dfrac{1}{3}\) eller \(x=-6\).

    3. \(4x^2+4x=3\)

      \(4x^2+4x - 3 =0\), alltså \(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 4(-3)}}{2\cdot 4} = \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{8} = \dfrac{-4\pm 8}{8}\) som ger att \(x=\dfrac{1}{2}\) och \(x=\dfrac{3}{2}\).

  8. Lös
    1. \(x^2-2x=-2x+1\)

      \("x^2-2x=-2x+1 \Leftrightarrow x^2 =1\) som har lösningarna \(x=\pm 1\).

    2. \(3x+4=x^2+4\)

      \(3x+4=x^2+4 \Leftrightarrow x^2 -3x =0\) som vi kan lösa med nollregeln:

      \(x(x-3)=0\).

      \(x=0\) eller \(x-3=0 \Leftrightarrow x=3\).

    3. \(x+2=x^2\)

      \(x+2=x^2 \Leftrightarrow x^2-x-2=0\)

      Rötterna är \(x=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1(-2)}}{2\cdot 1}\) som ger att \(x=-1\) eller \(x=2\).

  9. Lös följande ekvationer. Kom ihåg att bestämma definitionsmängden.

    Börja med att förenkla till formen, \( ax^2 + bx + c = 0 \). Använd dig efter det av rotformeln.

    1. \( \dfrac{3}{x^2} - \dfrac{1}{x} = 4 \)

      Vi förenklar ekvationen till \( 4x^2 + x - 3 = 0\).

      Rotformeln ger \( x_1 = \dfrac{3}{4} \) och \( x_2 = -1 \). Bägge rötterna uppfyller definitionsmängden, \( x \not= 0 \).

    2. \( \dfrac{2}{x+1} = \dfrac{2x+3}{3} \)

      Vi förenklar ekvationen till \( 2x^2+5x-3=0\).

      Rotformeln ger \( x_1 = \dfrac{1}{2} \) och \( x_2 = -3 \). Bägge rötterna uppfyller definitionsmängden, \( x \not= -1 \).

    3. \( \dfrac{x^2}{x-1} = \dfrac{9}{2}\)

      Vi förenklar ekvationen till \( 2x^2-9x+9=0\).

      Rotformeln ger \( x_1 = \dfrac{3}{2} \) och \( x_2 = 3 \). Bägge rötterna uppfyller definitionsmängden, \( x \not= -1 \).

  10. Lös

    Lita på dig själv och räkna modigt på bara. Alla rötter är inte fina heltal eller bråktal.
    1. \(x^2-x-\dfrac{1}{4} =0\)

      \(x^2-x-\dfrac{1}{4} =0 \Leftrightarrow 4x^2-4x-1=0\), rötterna är \( x=\dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot4(-1)}}{2\cdot 4}\) som har rötterna \(x=\dfrac{1\pm \sqrt{2}}{2}\).

    2. \(x^2-4x+1 =0\)

      Rötterna är \(x=\dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1}\) som ger att \(x=2\pm\sqrt{3}\).

    3. \(x^2 + (1-\sqrt{2})x-\sqrt{2}=0\)

      Vi får att \(x=\dfrac{-(1-\sqrt{2})\pm\sqrt{(1-\sqrt{2})^2-4\cdot 1(-\sqrt{2})}}{2\cdot 1}\) som har rötterna \(x=\sqrt{2}\) eller \(x=-1\).

  11. Bestäm koefficienterna \(p\) och \(q\) för andragradsekvationen \(x^2 +px + q=0\) då rötterna för ekvationen är \(-2-\sqrt{6}\) och \(-2+\sqrt{6}\).

    • Tänk bakvägen på rotformeln \(\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
    • Vad gäller för \(a\) och \(b\) ?
    • Hur kommer du åt \(c\)?
    • Vad bör du göra för att få endast \(x^2\) som första term?

    \(a=\dfrac{1}{2}\), \(b=2\) och \(c=-1\), ger oss \(\dfrac{1}{2}x^2+2x-1=0\). Multiplicera allt med 2 och så får vi \(x^2+4x-2=0\).

    Alltså \(p=4\) och \(q=-2\).

  12. Lös ut \( x \) ur ekvationerna.
    1. \( x^2 +ax +a-1 = 0 \)

      Rotformeln ger

      \( \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{-a \pm \sqrt{a^2-4\cdot 1 (a-1)}}{2\cdot 1} \\ & = & \dfrac{-a \pm \sqrt{a^2-4a+4}}{2} \\ & = & \dfrac{-a \pm \sqrt{(a-2)^2}}{2} \\ & = & \dfrac{-a \pm (a-2)}{2} \\ \end{array} \)

      Alltså \( x_1 = \dfrac{-a-(a-2)}{2} = -a+1 \) och \( x_2 = \dfrac{-a+(a-2)}{2} = -1 \).

    2. \( x^2+ax-x-a = 0\)

      Vi börjar med \( x^2+ax-x-a = 0 \Leftrightarrow x^2+(a-1)x -a = 0 \).

      Rotformeln ger

      \( \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{-(a-1) \pm \sqrt{(a-1)^2-4\cdot 1 (-a)}}{2\cdot 1} \\ & = & \dfrac{-a+1 \pm \sqrt{a^2+2a+1}}{2} \\ & = & \dfrac{-a+1 \pm \sqrt{(a+1)^2}}{2} \\ & = & \dfrac{-a+1 \pm (a+1)}{2} \\ \end{array} \)

      Alltså \( x_1 = \dfrac{-a+1-(a+1)}{2} = -a \) och \( x_2 = \dfrac{-a+1+(a+1)}{2} = 1 \).