MaA 2 Funktioner och ekvationer 1

16. Ekvationer av högre grad

Som det sista för kursen tar vi och tittar på hur vi kan lösa ekvationer och olikheter där gradtalet är större än 2. För ekvationer finns det algorimer, färdiga recept, för hur vi skall göra. Det finns för tredjegrads ekvationer men det faller utaför gymnasiekursen. De ekvationer och olikheter som vi tittar på här är alltså en bråkdel av de alla som finns i verkligheten.

Lycka till!

För att lösa ekvationer som har ett gradtal högre än två, tex \(x^3 -4x^2 - x = 0\), har vi ingen formel som vi kan utnyttja. Däremot har vi ett par knep som löser vissa typer av ekvationer.

Vi kan utnyttja nollregeln, exempel 1, eller använda oss av substitution, exempel 2. Löser vi ekvationerna på räknare eller räknarprogram har datorn inga problem med att hitta en lösning.

Exempel 1 Lös \(2x^3+2x^2-12x=0\).

Lösning

Vi börjar med att bryta ut från \(2x^3+2x^2-12x=0\).

Sedan tillämpar vi nollregeln. Visst kommer du ihåg den?

\(\begin{array}{rcl} &2x^3 +2x^2-12x &= &0 & \\ &2x(x^2+x-6) &= &0 & \\ \textrm{} &2x=0 & \textrm{ eller } & x^2+2-6 =0 \\ \end{array}\)

Vi får \( 2x=0 \) som har roten \( x_1 = 0 \).

\( x^2+2-6 =0 \) löser vi med rotformeln.

\(\begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 -4\cdot 1 (-6)}}{2\cdot 1} \\ & = & \dfrac{-1 \pm 5}{2} \\ x_2 & = & \dfrac{-1-5}{2} = -3 \\ x_3 & = & \dfrac{-1+5}{2}=2 \\ \end{array}\)

Svar: \(x_1 = 0\), \(x_2=-3\) och \(x_3=2\)

Exempel 2 Lös \(m^4+m^2=2\).

Lösning

\(\begin{array}{lrcll} \textrm{} &m^4+m^2 &= &2 & \textrm{Vi substituerar } m^2=t\\ \textrm{och får} &t^2+t -2&= &0 & \end{array} \)

som vi löser med rotformeln.

\(\begin{array}{rcl} t & = & \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 -4\cdot 1 (-2)}}{2 \cdot 1} \\ & = & \dfrac{-1 \pm 3}{2} \\ \end{array}\)

Vi får rötterna,

\(\begin{array}{rcl} t_1 & = & \dfrac{-1-3}{2}=-2 \\ t_2 & = & \dfrac{-1+3}{2}=1 \\ \end{array}\)

Vi substituerar tillbaka:

\(\begin{array}{rcl} t_1 = m^2 = -2 \\ \end{array} \)

Ekvationen saknar lösningar.

\(\begin{array}{rcl} t_2 & = & m^2=1 \\ m & = & \pm 1 \\ \end{array}\)

Svar: \(m=\pm 1\)

Uppgifter

  1. För vilka värden på \(x\) gäller att
    1. \(4x ^4 = 6\)

      \(4x ^4 = 6\) ger att \(x=\pm\sqrt[4]{\dfrac{3}{2}}\)

      .
    2. \(3x^5-4 =0\)

      \(3x^5-4 =0\) ger att \(x=\sqrt[5]{\dfrac{4}{3}}\).

    3. \(x^5-3 =0\)

      \(x^5-3 =0\) ger att \(x=\sqrt[5]{3}\).

    4. \(x^4 +3 =0\)

      \(x^4 +3 =0\) Går inte eftersom \(x^4=-3\) uppfylls aldrig.

    5. \(x^3+1 =0\)

      \(x^3+1 =0\) uppfylls då \(x=-1\).

  2. Lös ekvationen \(x^4-4x^2=0\) genom att bryta ut eller genom att substituera.

    Vi får att \(x^2(x^2-4)=0\) som har lösningarna \(x=0\) eller \(x^2-4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x=\pm 2\).

  3. Lös ekvationen \(n^5+4n^3=0\).

    Vi får att \(n^3(n^2+4)=0\) som har lösningarna \(n=0\) och \(n^2=-4\), som sakar reella rötter.

    Alltså \(n=0\).

  4. Lös ekvationen \( x^5 - 6x = 0 \).

    Vi bryter ut och får \( x(x^4-6) = 0 \).

    Alltså \( x = 0 \) eller \( x^4- 6 = 0\).

    Vi får att \( x^4 = 6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[4]{6} \).

    Lösningen är \( x = 0 \) och \( x = \pm \sqrt[4]{6} \).

  5. Lös ekvationen \( (9x^2-1)(x^2-2x-3)=0 \).

    Vi delar upp ekvationen.

    Vi får \( 9x^2-1 = 0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{9} \). Vi får \( x = \pm \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \pm\dfrac{1}{3} \).

    Och vi får \( x^2-2x-3 = 0 \) som vi löser med rotformeln och får \( x = -1 \) och \( x = 3\).

    Rötterna är \( x = \pm\dfrac{1}{3} \), \(x=-1 \) och \( x = 3\).

  6. Lös ekvationen \(x^3+4x^2+3x=0\).

    Bryt ut och tillämpa nollregeln.

    Vi får att \(x(x^2+4x+3)=0\) som ger att \(x=0\) eller \(x^2+4x+3=0\) som har rötterna \(x=-1\) och \(x=-3\).

    Alltså \(x=0, x=-1\) och \(x=-3\).

  7. Lös \(x^4-6x^2 =-5\).

    Ersätt \(x^2=t\) och lös den ekvationen. Kom ihåg att substituera tillbaka.

    Vi ersätter \(x^2=t\) och får \(t^2-6t+5=0\) som har rötterna \(t=1\) och \(t=5\).

    Alltså är \(x=\pm1 \) och \(x=\pm\sqrt{5}\).

  8. Lös ekvationen \(7x^7 +6x^6 = 0\).

    Vi får att \(x^6(7x+6)=0\) som har lösningarna \(x^6=0\) och \(7x+6=0\).

    Lösningarna är \(x=0\) och \(x=-\dfrac{6}{7}\).

  9. Lös \(x^3-x^2-x+1=0\).

    Får du det till \(x(x^2-1)-1(x^2-1)=0\)? Jobba härifrån vidare genom att utnyttja nollregeln.

    Vi får följande

    \(\begin{array}{rcl} x^3-x^2-x+1 &=&0 \\ x(x^2-1)-1(x^2-1) &=&0 \\ (x^2-1)(x-1) &=&0\\ \end{array}\)

    Alltså \(x^2-1=0\) eller \(x-1=0\).

    Rötterna är \(x=\pm 1\).

  10. Lös \((x+2)(x^2-3x+2)=0\).

    Utnyttja nollregeln.

    Vi får att \(x+2=0 \Leftrightarrow x=-2\) och \(x^2-3x+2=0\) som har rötterna \(x=1\) och \( x=2 \).

    Rötterna är \(x=\pm 2\) eller \(x=1\).

  11. För vilket värde på \( a \) har ekvationen \( x^3 -3x^2-4x + a + 2 = 0 \) roten \( -1 \)? Vad är då de övriga rötterna?

    Då roten är \( x = -1 \) betyder det att uttrycket får värdet 0. Alltså

    \( (-1)^3-3(-1)^2-4(-1)+a+2 =0 \) alltså \( a = -2 \).

    Vi får \( x^3-3x^2-4x = 0\). Vi får \( x(x^2-3x-4)=0 \) som vi delar upp.

    Vi får \( x = 0 \) och \( x^2-3x-4=0 \) som har lösningarna \( x = -1 \) och \( x = 4 \).

    Alltså \( x = 0 \) och \( x = 4 \).