MaA 2 Funktioner och ekvationer 1

25. Repetition

Det var det innehållet som gällde för denna kurs. Sedan är det bara att repetera.

Märk att här inte finns allt!!!

Uppgifter

  1. Förenkla
    1. \((a-b)^2+2ab\)

      \((a-b)^2+2ab=a^2 -2ab+b^2 +2ab=a^2 + b^2\)
    2. \(a(a+b)-(a-b)(a+b)\)

      \(\begin{array}{rcl} a(a+b)-(a-b)(a+b) & = & a^2+ab-(a^2-b^2) \\ & = & a^2+ab-a^2+b^2 \\ & = & b^2+ab \\ \end{array}\)
    3. \(m(m+n)^2 -n(m^2-m)\)

      \(\begin{array}{rcl} m(m+n)^2 -n(m^2-m) & = & m(m^2+2mn+n^2)-m^2n+mn \\ & = & m^3+2m^2n+mn^2-m^2n+mn \\ & = & m^3+m^2n +mn^2 +mn \\ \end{array}\)
  2. Lös ekvationerna
    1. \(x^2-x-2=0\)

      Rotformeln ger oss att \(x=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 (-2)}}{2\cdot 1}\) som ger att \(x=2\) eller \(x=-1\).
    2. \(x^2-2x = -1\)

      Rotformeln ger \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}\) ger \(x=1\).

      Eller sedan som \(x^2-2x +1= 0 \Leftrightarrow (x-1)^2=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1\).

    3. \(-x^2-4x-4=0\)

      Rotformeln ger oss att \(x=\dfrac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4(-1)(-4)}}{2(-1)}\) som betyder att \(x=-2\).

      Vi kan även lösa den som \(-x^2-4x-4=0 \Leftrightarrow x^2+4x+4=0 \Leftrightarrow (x+2)^2=0 \Leftrightarrow x+2=0 \Leftrightarrow x=-2\).

  3. Bestäm antalet rötter för ekvationerna genom att undersöka diskriminanten.
    PåståendeNoll rötter. En rot. Två rötter.
    \(x^2+4x+3 = 0\)
    \(x^2-6x+9=0\)
    \(x^2-2x=-2\)

    PåståendeNoll rötter. En rot. Två rötter.
    \(x^2+4x+3 = 0\)
    \(x^2-6x+9=0\)
    \(x^2-2x=-2\)
  4. Diskutera med din bänkkamrat och kom på ett recept hur man bestämmer nollställena för en funktion. Diskutera igenom följande situationer då funktionen är
    1. \(f(x)=3x-6\)
    2. \(g(x)=2x^2-8\)
    3. \(h(x)=3x^2-6x\)
    4. \(i(x)=x^2-3x+2\)

    Lös tillsammans nollställena för funktionerna.

    1. \(f(x)=3x-6\) genom att lösa \( 3x-6=0 \) som har lösningen \( x = 2 \).
    2. \(g(x)=2x^2-8\) genom att lösa \( 2x^2-8=0 \) som har lösningen \( x = \pm 2 \).
    3. \(h(x)=3x^2-6x\) genom att lösa \( 3x^2-6x=0 \) som har lösningarna \( x_1 = 0 \) och \( x_2 = 2 \).
    4. \(i(x)=x^2-3x+2\) genom att lösa \( x^2-3x+2=0 \) som har lösningarna \( x_1 = 1 \) och \( x_2 = 2 \).
  5. Lös olikheterna
    1. \(-3x-1 < -5x\)

      \(\begin{array}{rcl} -3x-1 & < & -5x \\ -3x+5x & < & 1 \\ 2x & < & 1 \\ x & < & \dfrac{1}{2}\\ \end{array}\)
    2. \(x(3-x) > 2\)

      \(x(3-x) > 2 \Leftrightarrow -x^2+3x-2 > 0\). Ekvationen \(-x^2+3x-2 =0\) har lösningarna \(x=1\) och \(x=2\).

      Skiss av parabeln eller teckenschema ger att \(1 < x < 2\).

    3. \((x-1)^2 < 2(1-x)\)

      \((x-1)^2 < 2(1-x) \Leftrightarrow x^2-2x+1 < 2-2x \Leftrightarrow x^2 < 1\) som sker då \(-1 < x < 1\).

  6. Lös följande olikheter
    1. \(2x-3 < 3-2x\)

      \(2x-3 < 3-2x \Leftrightarrow 4x < 6 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{2}\)

    2. \((x+1)^2 \leq 1\)

      \((x+1)^2 \leq 1 \Leftrightarrow x^2+2x+1 \leq 1 \Leftrightarrow x^2+2x \leq 0\). Ekvationen \(x^2+2x=0\) har lösningarna \(x=0\) och \(x=-2\).

      Då vi skissar upp parabeln får vi att \(-2\leq x \leq 0\).

    3. \(x^3 < x^2\)

      \(x^3 < x^2 \Leftrightarrow x^3-x^2 < 0\). Ekvationen \(x^3-x^2=0 \Leftrightarrow x^2(x-1)=0\) har lösningarna \(x=0\) och \(x=1\).

      Teckenschema ger följande

      \(\begin{array}{r|ccccc} & & 0 & & 1 & \\ \hline x^2 & + & 0 & + & + & + \\ x-1 & - & - & - & 0 & + \\ \hline x^3-x^2 & - & 0 & - & 0 & +\\ \end{array}\)

      Vi får att \(x < 0\) eller \(0 < x < 1\).

  7. För vilka värden på \(a\) får funktionen \(f(x)=-x^2+ax+a-3\) endast negativa värden?

    En hurdan funktion har du? Hur skall den placeras så att kriteriet uppfylls?

    Vi har en parabel som öppnar sig nedåt. Betyder att funktionen inte får skära \(x\)-axeln. Det sker då ekvationen \(f(x)=0\) saknar rötter.

    Alltså \(-x^2+ax+a-3=0\) skall sakna rötter. Det sker då \(D=b^2-4ad = a^2-4(-1)(a-3) < 0\).

    Vi får olikheten \(a^2+4a-12 < 0\) som vi löser genom att lösa ekvationen \(a^2-4a-12=0\) som har rötterna \(a=-6\) och \(a=2\).

    Då vi skissar upp parabeln får vi svaret \(-6 < a < 2\).

  8. För vilka värden på \(a\) gäller att ekvationen \(ax^2+a=1\) har två rötter.

    Ekvationen \(ax^2+a=1 \Leftrightarrow ax^2+a-1=0\).

    Om denna ekvation skall ha två rötter gäller det att diskriminanten skall vara positiv. \(D=b^2-4ac = a^2-4\cdot a(-1) < 0 \Leftrightarrow a^2+4a < 0\). Ekvationen \(a^2+4a=0\) har rötterna \(a=0\) och \(a=-4\).

    Då vi skissar upp parabeln får vi att \(-4 < a < 0\).

  9. För vilka värden på \(a\) har ekvationen \(x^2-ax+2=1\) endast en rot?

    \(x^2-ax+2=1\Leftrightarrow x^2-ax+1=0\). Då ekvationen skall ha endast en rot gäller det att diskriminanten skall ha värdet 0.

    Alltså \(D=b^2-4ac = (-a)^2-4\cdot 1 \cdot 1 =0 \Leftrightarrow a^2-4=0\) som har lösningarna \(a=\pm 2\).

  10. En rektangelformad tomt som är bredvid två stycken vägar har arean 1 260 m2. Man byggde ett staket vid bägge vägar, som blev 72 m. Bestäm dimensionerna för tomten.

    Vi betecknar längden med \( a \) och bredden med \( b \)

    Från längden av staketet får vi att \( a + b = 72 \). För arean gäller att \( a\cdot b = 1260 \).

    Vi sätter in den ena ekvationen i den andra, \( a = 72 - b \). Alltså \( (72-b)b = 1260 \). (Det är ingen skillnad om du utgår från \( b = 72 - a \). Du kommer till samma resultat.)

    Andragradsekvationen är \( -b^2 +72b -1260 = 0 \). Ekvationen har lösningarna \( b_1 = 30 \) och \( b_2 = 42 \).

    Då bredden är 30 m är längden 42 m, och då bredden är 42 m är längden 30 m.

  11. En rektangelformad simbassäng är 15 m lång och 8 m bred. Man vill lägga en jämnbredd stenbeläggning runt bassängen. Det finns stenbeläggning för 40 m2. Hur bred stenbeläggning kan man bygga?

    Vi betecknar bredden av stenbeläggningen med \( a \).

    Rektangel runt bassängen är \( 2a \) längre och bredare än bassängen. Vi bildar den totala arean och subraherar simbassängens area.

    Alltså \( (2a + 15)(2a + 8)-15 \cdot 8 = 40 \). När vi förenklar får vi \( 4a^2 +46a - 40 = 0\). Ekvationen har lösningarna \( a_1 = -12,31\ldots \) och \( a_2 = 0,81\ldots \).

    Alltså 81 cm bred blir stenbeläggningen.

  12. Lös olikheten \(\dfrac{x^2+7x+2}{x-3} > 1\).

    Vi får att \(\dfrac{x^2+7x+2}{x-3} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{x^2+6x+5}{x-3} > 0\).

    Vi undersöker täljaren och nämnaren skillt.

    Täljaren: \(x^2+6x+5 =0\) då \(x=-5\) och \(x=-1\).

    Nämnaren : \(x-3=0\) då \(x=3\).

    Vi bildar ett teckenschema

    \(\begin{array}{c|ccccccc} & & -5 & & -1 & & 3 & \\ x^2+6x+5 & + & 0 & - & 0 & + & + & + \\ x-3 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline \dfrac{x^2+6x+5}{x-3} & - & 0 & + & 0 & - & \wr & + \\ \end{array}\)

    Alltså då \(-5 < x < -1\) eller \(x > 3\).

  13. Visa att då \(a\) och \(b\) är positiva tal så gäller att \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2\). Visa dessutom att likheten gäller endast om \(a=b\).

    Förenkla modigt och lös på.

    \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2 \mid \cdot ab\)

    \(a^2 +b^2 \geq 2ab\)

    \(a^2-2ab+b^2 \geq 0\)

    \((a-b)^2 \geq 0\) eftersom en kvadrat alltid är positiv. Om kvadraten skall ha värdet 0 måste \(a =b\).

  14. Bryt ut och förenkla

    Tänk via kvadreringsregel, konjugatregel och utbrytning. Sedan är det bara att försöka, försöka och försöka.
    1. \(x^3+x^2+x+1\)

      \(x^3+x^2+x+1 = x^2(x+1)+1(x+1)=(x+1)(x^2+1)\)
    2. \(a^2-b^2-c^2+2bc\)

      \(a^2-b^2-c^2+2bc = a^2-(b-c)^2 = (a-b+c)(a+b-c)\)
    3. \(a^2-b^2+ac+bc\)

      \(a^2-b^2+ac+bc = (a+b)(a-b)+c(a+b) = (a+b)(a-b+c)\)