3. Kvadreringsregeln

Vi förenklar följande uttryck tillsammans:

$(2+x)^2$
$(a+b)^2$
$(-1+a)^2$

För att enkelt förenkla kvadraten av ett binom, $(a+b)^2$ använder vi oss av kvaderingsregeln. Kvadreringsregel skriver vi som $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . Ibland ser man även $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ . En del trinom kan vi skriva som kvadrater, faktorisera med hjälp av kvadreringsregeln, tex $x^2-4x+4$ som $(x^2-2)^2$ .

Exempel 1 Fyll i så att det blir rätt:

$(x\underline{\qquad})^2 = x^2 -4x\underline{\qquad\qquad}$
$(2x\underline{\qquad})^2 = 4x^2 + x \underline{\qquad}$

Kvadrering av ett binom räknar vi som

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ .

Uppgifter

Berätta om fördelen med kvadreringsregeln.

Vi kan på ett lätt sätt kvadrera ett binom.

Kombinera så att det blir rätt.

Välj bland följande uttryck:

(x - 3)^{2}

$(x-3)^2$

(x - 2)^{2}

$(x-2)^2$

(x - 1)^{2}

$(x-1)^2$

(x + 1)^{2}

$(x+1)^2$

(x + 2)^{2}

$(x+2)^2$

(x + 3)^{2}

$(x+3)^2$

Uttryck	Motsvarande uttryck
	$x^2+4x+4$
	$x^2-4x+4$
	$x^2+2x+1$
	$x^2-2x+1$
	$x^2+6x+9$
	$x^2-6x+9$

Uttryck	Motsvarande uttryck
$(x+2)^2$	$x^2+4x+4$
$(x-2)^2$	$x^2-4x+4$
$(x+1)^2$	$x^2+2x+1$
$(x-1)^2$	$x^2-2x+1$
$(x+3)^2$	$x^2+6x+9$
$(x-3)^2$	$x^2-6x+9$

Kvadrera följande uttryck
1. $(2+n)^2$
  
  $(2+n)^2 = n^2+4n +4$
2. $(3-n)^2$
  
  $(3-n)^2 = 9-6n+n^2$
3. $(x-y)^2$
  
  $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
Kvadrera
1. $(x+\dfrac{1}{4})^2$
  
  $(x+\dfrac{1}{4})^2 = x^2 +\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{16}$
2. $(x-2y)^2$
  
  $(x-2y)^2 = x^2-4xy+4y^2$
3. $(\dfrac{1}{3}-b)^2$
  
  $(\dfrac{1}{3}-b)^2 = \dfrac{1}{9}-\dfrac{2b}{3}+b^2$
Kvadrera
1. $(m-\sqrt{2})^2$
  
  $(m-\sqrt{2})^2 = m^2-2\sqrt{2}m+2$
2. $(\dfrac{1}{2}x-2)^2$
  
  $(\dfrac{1}{2}x-2)^2 = \dfrac{1}{4}x^2 -2x +4$
3. $(2a-5b)^2$
  
  $(2a-5b)^2 = 4a^2-20ab+25b^2$
Fyll i fältet så att det blir rätt. Glöm inte tecknet framför talet!
1. $(x \underline{\qquad} )^2 = x^2 +12x \underline{\qquad}$
  
  $(x \underline{+6})^2 = x^2 +12x \underline{+36}$
2. $(x \underline{\qquad})^2 = x^2 -16x \underline{\qquad}$
  
  $(x \underline{-8})^2 = x^2 -16x \underline{+64}$
3. $(x \underline{\qquad} )^2 = x^2 +x \underline{\qquad}$
  
  $(x \underline{+\dfrac{1}{2}} )^2 = x^2 +x \underline{+\dfrac{1}{4}}$
4. $(x \underline{\qquad} )^2 = x^2 -4x \underline{\qquad}$
  
  $(x \underline{-2} )^2 = x^2 -4x \underline{+4}$
Fyll i så att det blir rätt.
1. $(\underline{\qquad})^2 = \underline{\qquad} 2x+1$
  
  $(\underline{\pm x \pm 1})^2 = \underline{x^2} \pm 2x+1$
  
  Tecket måste vi välja så att bägge $x$ och $1$ har samma tecken.
2. $(\underline{\qquad})^2 = 4x^2 \underline{\qquad} \dfrac{1}{4}$
  
  $(\underline{\pm 2x\pm \dfrac{1}{2}})^2 = 4x^2 \underline{\pm 2x} +\dfrac{1}{4}$
  
  Här är det ingen skillnad hur vi väljer teckena.
3. $(\underline{\qquad}x\underline{\qquad})^2 = 2x^2 + x \underline{\qquad}$
  
  $(\underline{\pm \sqrt{2}}x\underline{\pm \dfrac{1}{2\sqrt{2}}})^2 = 2x^2 + x +\underline{\dfrac{1}{8}}$
  
  Här måste vi välja tecknena så att bägge, $\sqrt{2}x$ och $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ har samma tecken.
4. $(\underline{\qquad}x\underline{\qquad})^2 = 4x^2 - 4 x \underline{\qquad}$
  
  $(\underline{\pm 2}x\underline{\pm 1})^2 = 4x^2 - 4 x \underline{+1}$
  
  Här måste vi välja teckn så att de är motsatta.
Skriv som en kvadrat.
1. $x^2+6x+9$
  
  $x^2+6x+9 = (x+3)^2$
2. $x^2-2x+1$
  
  $x^2-2x+1 = (x-1)^2$
3. $16x^2+4x+\dfrac{1}{4}$
  
  $16x^2+4x+\dfrac{1}{4} = (4x+\dfrac{1}{2})^2$
4. $4x^2-8x+4$
  
  $4x^2-8x+4 = (2x-2)^2$
5. $x^4-8x^2+16$
  
  $8x^2+16 = (x^2-4)^2$
Lös följande ekvationer.
1. $(x+3)^2 = x^2+9$
  
  Vi får
  
  $\begin{array}{rcl} (x+3)^2 & = & x^2+9 \\ x^2 +6x +9 & = & x^2+9 \\ 6x & = & 0 \\ x & = & 0 \\ \end{array}$
2. $(x-5)^2 = x^2-25$
  
  Vi får
  
  $\begin{array}{rcl} (x-5)^2 & = & x^2-25 \\ x^2 -10x +25 & = & x^2-25 \\ -10x & = & -50 \\ x & = & 5 \\ \end{array}$
3. $(x-2)^2 = x^2-4x$
  
  Vi får
  
  $\begin{array}{rcl} (x-2)^2 & = & x^2-4x \\ x^2 -4x +4 & = & x^2-4x \\ 0 & = & 4 \\ \end{array}$
  
  Ekvationen saknar lösningar.
Förklara kvaderingsreleln geometriskt genom att utnyttja areorna i följande figurer.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ och $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Vi ritar in följande linjer.

För $(a+b)^2$ märker vi att den består av fyrhörningarna $a^2$ , $ab$ , $ab$ och $b^2$ . Alltså $a^2 +2ab +b^2$ .

För den andra kvadraten med sidan $a$ är arean $a^2$ . Den består av fyrhörningarna $(a-b)^2$ , $a-b)\cdot b$ , $a-b)\cdot b$ och $b^2$ .

Vi får att $a^2 = (a-b)^2 + 2b(a-b) + b^2$ . När du förenklar detta får du $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ .