MaA 12 Algoritmer i matematiken

6. Newton-Raphsons metod

Newton-Raphsons metod är en numerisk metod med vars hjälp vi får rötterna, lösningarna. Den har fått sitt namn efter Isaac Newton och Joseph Raphson. Ibland kallar man den endast för Newtons metod.

Bestäm närmevärdet av \( \sqrt{21} \).

Vi vet att \( 4 < \sqrt{21} < 5\).

Vi skall lösa \( x^2 = 21\), \( x>0\), alltså \(x^2-21=0\), alltså nollstället för \(f(x)=x^2-21\).

Vi löser det med hjälp av några tangeter.

Vi utnyttjar oss av tangenter och itererar oss fram till närmevärdet. Tanken är följande:

Vi behöver ett startvärde, \(x_1\).

Tangentens ekvation är \( y - f(x_1) = f'(x_1)(x-x_1) \).

Skärningspunkten har \( y=0 \). Alltså

\(\begin{array}{rcl} 0 - f(x_1) & = & f'(x_1)x -f'(x_1)x_1 \\ f'(x_1)x_1 - f(x_1) & = & f'(x_1)x \\ f'(x_1)x & = & f'(x_1)x_1 - f(x_1) \\ x & = & x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)} \\ \end{array}\)

Metoden kallas Newtons eller Newton-Raphsons metod.

Vi väljer \( x_1 = 4 \), \(f'(x)=2x\), och får då

\( \begin{array}{rcl} x_1 & = & 4 \\ x_2 & = & 4 - \dfrac{4^2-21}{2\cdot 4} = 4,625\\ x_3 & = & 4,625 - \dfrac{4,625^2-21}{2\cdot 4,625} = 4,58277\ldots \\ \vdots \\ \end{array}\)

Själva uträkningen med iterationer gör vi lättast på räknare eller räknarprogram.

På SpeedCrunch ser det ut som följande:

Vi slutar iterera när decimalutvecklingen är konstant. Vi får att \( \sqrt{21} = 4,58257569495584000659\).

Exempel 1 Bestäm nollstället för funktionen \( f(x)=x^3-5x+5 \)

Lösning

Vi behöver en kvalificerad gissning för nollstället. Då vi ritar grafen av \( f \) märker vi att roten är mellan \( -3 \) och \(-2\). Vi väljer \( x_1 = -3 \).

Eftersom \( f(x)=x^3-5x+5 \) är \( f'(x)=3x^2-5 \).

Sedan itererar vi

Vi märker att nollstället är \( −2,62736508471183313934 \).

Med Newtons formel får vi numeriska lösningar åt ekvationer. Vi formar om ekvationen till en funktion. Då söker vi nollställena för funktionen.

Vi behöver en kvalificerad gissning, startvärde, \( x_1 \) och sedan utnyttjar vi och itererar med formeln \[ x = x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)}. \]

Uppgifter

  1. Bestäm närmevärdet för följande kvadratrötter med hjälp av Newtons metod.
    1. \( \sqrt{14} \)

      Eftersom \( 3 < \sqrt{14} < 4 \) är 3 eller 4 bra startvärden.

      \( f(x) = x^2-14\) och \( f'(x)=2x \).

      Med startvärdet \( 3 \) får vi

      Alltså \( 3,74165738677394138558 \).

    2. \( \sqrt{31} \)

      Eftersom \( 5 < \sqrt{31} < 6 \) är 5 eller 6 bra startvärden.

      \( f(x) = x^2-31\) och \( f'(x)=2x \).

      Med startvärdet \( 5 \) får vi

      Alltså \( 5,56776436283002192212 \).

    3. \( \sqrt{42} \)

      Eftersom \( 6 < \sqrt{42} < 7 \) är 6 eller 7 bra startvärden.

      \( f(x) = x^2-42\) och \( f'(x)=2x \).

      Med startvärdet \( 7 \) får vi

      Alltså \( 6,48074069840786023097 \).

  2. Bestäm närmevärdet för följande rötter med hjälp av Newtons metod.
    1. \( \sqrt[3]{14} \)

      Eftersom \( 2 < \sqrt[3]{14} < 3 \) är 2 eller 3 bra startvärden.

      \( f(x) = x^3-14\) och \( f'(x)=3x^2 \).

      Med startvärdet \( 2 \) får vi

      Alltså \( 2,41014226417522998613 \).

    2. \( \sqrt[3]{7} \)

      Eftersom \( 1 < \sqrt[3]{7} < 2 \) är 1 eller 2 bra startvärden.

      \( f(x) = x^3-7\) och \( f'(x)=3x^2 \).

      Med startvärdet \( 1 \) får vi

      Alltså \( 1,91293 \). För att få noggrannare värde måste vi iterera mera.

    3. \( \sqrt[4]{17} \)

      Eftersom \( 2 < \sqrt[4]{17} < 3 \) är 2 eller 3 bra startvärden.

      \( f(x) = x^4-17\) och \( f'(x)=4x^3 \).

      Med startvärdet \( 1 \) får vi

      Med tillräkligt många iterationer får vi \( 2,03054318486893071787 \).

  3. Bestäm nollstället för \( f(x) = x^3-x^2+1\).

    Vi ritar grafen eller gissar oss fram till att \( -1 \) är ett bra startvärde. Vi får

    Alltså \( −0,75487766624669276005 \).

  4. Bestäm nollstället för \( f(x) = x^3+2\).

    Vi ritar grafen eller gissar oss fram till att \( -2 \) är ett bra startvärde. Vi får

    Alltså \( −1,25992104989487316477 \).

  5. Bestäm nollstället för \( f(x) = -x^3-2x^2-1\).

    Vi ritar grafen eller gissar oss fram till att \( -2 \) är ett bra startvärde. Vi får

    Alltså \( −2,2055694304005903117 \).

  6. Låt \( f(x)=x^3 -2x +2 \). Bestäm nollställena via startvärdena 0 och 1. Var för är 0 och 1 dåliga startvärden då vi söker nollställena med Newtons metod?

    Då vi ritar ut tangenterna i \( x = 0 \) och \( x=1 \) får vi följande bild

    Vi märker att tangenternas nollställen ger den andra tangenten. Det betyder att vi hoppar mellan värdena.

  7. Funktionen \( f(x) = -x^3+4x+1 \) har 3 stycken nollställen. Bestäm alla tre med hjälp av Newtons metod genom att välja lämpliga startvärden.

    Vi ritar grafen märker vi att \( -2 \), \( 0 \) och \( 2 \) är bra startvärde.

    Vi får följande närmevärden: \( x_1 = -1,860805853112 \), \(x_2=-0,254101688365 \) och \(x_3 = 2,114907541477\).

  8. Funktionen \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 6 \) har 4 stycken nollställen. Bestäm alla tre med hjälp av Newtons metod genom att välja lämpliga startvärden.

    Vi ritar grafen märker vi att \( -2 \), \( -1 \), \( 1 \) och \( 2 \) är bra startvärde.

    Vi får följande närmevärden: \( x_1 = -1,7320508076 \), \(x_2 = -1,4142135624 \), \( x_3 = 1,4142135624 \) och \( x_4 = 1,7320508076 \).

  9. Ett nollställe för funktionen \( \sin x\) är \( \pi \). Använd dig av Newtons metod och bestäm ett närmevärde för \( \pi \) med 10 decimalers noggrannhet.

    Derivatan av \( D \sin x = \cos x \).

    Vi får

    Alltså \( \pi \approx 3,1415926536 \).

  10. Nedan ser du grafen till en funktion \( f \).

    Funktionens nollställen är A, B, C och D. Avgör med hjälp av grafen vilket nollställe vi får då vi tillämpar Newtons metod på funktionen med följande startvärden.

    1. \( x_1 = 3 \)

      B

      Skärningspunkten för tangenten från \( x_1 = 3 \) landar i \( -1 < x < 0 \). Därifrån stannar vi på B.

    2. \( x_1 = 2 \)

      C

      Skärningspunkten för tangenten från \( x_1 = 2 \) landar i nära 1. Därifrån stannar vi på C.

    3. \( x_1 = 0 \)

      D

      Skärningspunkten för tangenten från \( x_1 = 0 \) landar i \( 4 < x < 5 \). Därifrån stannar vi på D.

    4. \( x_1 = -1 \)

      B

      Skärningspunkten för tangenten från \( x_1 = -1 \) landar i \( -3 < x < B \). Därifrån stannar vi på B.

  11. [SE V15] Italienaren Fibonacci beräknade år 1225 närmevärdet för \( x \approx 1,368808108 \) för roten till ekvationen \( x^3 + 2x^2 + 10x - 20 = 0 \).
    1. Visa att ekvationen har exakt en rot i mängden av reella tal.

      Vi betecknar \( f(x) = x^3 + 2x^2 +10x -20 \). Vi söker nollstället för funktionen.

      \( f'(x) = 3x^2 + 4x + 10 \). Derivatan saknar nollställe.

      Eftersom \( f'(1) = 17 \) gäller att \( f \) är strängt växande.

      Vidare har vi att \( f(1) = -7 \) och \( f(2) = 16 \). Alltså har vi ett nollställe i \( 1 \leq x \leq 2 \).

    2. Med hur många iterationer får man första gången samma nio decimaler som i Fibonaccis närmevärde då man använder Newtons metod och startvärdet \( x_0 = 1 \)?

      Vi får

      Med 4 iterationer har vi samma värde då vi avrundar.

  12. En del av kursen är att lära sig programmera. Gå till tie.koodariksi.fi, registrera dig och börja jobba på Ohjelmoinnin alkeet. Uppe till höger kan du byta språk.

    Jobba ca en timme med materialet, eller med kapitlen 15.