3. Faktorisering av polynom

Exempel 1 Faktorisera \( x^3+x^2-2x \)

När vi faktoriserar med hjälp av nollställen utnyttjar vi faktorsatsen.

Talet \( a \) är ett nollställe till polynomet \( P(x) \) om och endast om \( x-a \) är en faktor i polynomet \( P(x) \).

Exempel 2 Ett polynom av trejde grad har nollställena \( 1 \) och dubbelnollstället \( -5 \). Bestäm polynomet.

Lösning

Eftersom vi har nollställena \( 1 \) och dubbelnollstället \( -5 \) polynomet ut som \( (x-1)(x+5)^2 = x^3+9x^2+15x+25 \).

Exempel 3 Bestäm när \( x^3+3x^2-4 < 0 \)

Uppgifter

Faktorisera följande uttryck. Använd dig antingen av gruppering och/eller division.
1. \( x^3 -x \)
  
  \( x^3 -x = x(x^2-1) = x(x+1)(x-1) \)
2. \( 2x^3+2x^2-2x-2 \)
  
  Vi får \( 2x^3+2x^2-2x-2 = 2(x^3+x^2-x-1) = \\ 2[x^2(x+1)-(x+1)] = 2(x^2-1)(x+1) = \\ 2(x-1)(x+1)(x+1) \).
  
  Alternativt kan vi faktorisera med hjälp av trappan. Då skall vi gissa fram en lösning till \( 2x^3+2x^2-2x-2 = 0 \). För att komma vidare måste vi gissa \( x=1 \) eller \( x=-1\) och dividera med \( x-1 \) eller \( x+1 \) för att komma vidare.
3. \( x^3 -x^2-10x-8 \)
  
  För att komma vidare måste vi gissa fram en lösning när \( x^3 -x^2-10x-8 =0 \). Vi kommer fram till någon av lösningarna \( x = -1 \), \( x = -2 \) eller \( x = 4 \) och dividerar oss därifrån vidare. Vi kommer fram till \( (x+1)(x+2)(x-4) \).
Bilda följande polynom
1. med nollställena \( x = 2 \) och \( x = -3 \)
  
  \( (x-2)(x+3) = x^2+x-6 \)
2. med nollställena \( x = -4 \) och dubbelnollstället \( x = -1 \)
  
  \( (x+4)(x+1)^2 = x^3+6x^2+9x+4 \)
3. med nollställena \( x = 0 \), \( x = -2 \) och \( x = 2 \)
  
  \( x(x+2)(x-2)=x^3-4x \)
På räknarprogram med CAS funktion kan man faktorisera polynom. Formulera en algoritm som faktoriserar polynom.

Lösningen
Lös följande olikheter utan att använda dig av räknare.
1. \( x^3+x^2-2x > 0\)
  
  Vi faktoriserar och får \( x(x-1)(x+2) \).
  
  Vi bildar ett teckenshema med 3 rader och då vi kombinerar dem får vi lösningen \( -2 < x < 0 \) eller \( x > 1 \).
2. \( x^3-2x^2+x-2 < 0 \)
  
  Vi faktoriserar och får \( (x-2)(x^2+1) \).
  
  Vi bildar ett teckenshema med 2 rader och då vi kombinerar dem får vi lösningen \( x < 2 \).
  Alternativt kan vi märkar att \( (x^2+1) \) alltid är positivt. Då räcker det att endast undersöka tecknet för \( x-2 \).
3. \( x^4+x^3-5x^2+3x < 0 \)
  
  Då vi faktoriserar får vi \( x(x+3)(x-1)^2 \)
  
  Vi måste undersöka tecknet hos alla faktorer. Vårt teckenschema har 3 rader och då vi kombinerar får vi \( -3 < x < 0 \).
Bestäm värden för \( a \), \( b \) och \( c \).
1. För vilket värde på \( a \) går divisionen \( \dfrac{2x^3+ax+4}{1-x} \) jämnt ut? Bestäm även kvoten.
  
  \(a = -6 \). Kvoten är \(-2x^2-2x+4\).
2. För vilket värde på \( b \) går divisionen \( \dfrac{-x^3+2x^2+bx-3}{x-3} \) jämnt ut? Bestäm även kvoten.
  
  \(b = 4 \). Kvoten är \(-x^2-x+1\).
3. För vilket värde på \( c \) går divisionen \( \dfrac{x^3-4x^2-x+c}{4-x} \) jämnt ut? Bestäm även kvoten.
  
  \(c = 4 \). Kvoten är \(-x^2+1\).
Bestäm gränsvärdet genom att dela upp i faktorer. Försök att klara dig utan räknare.
1. \( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{1-x} \)
  
  Vi ser att \(x =1\) är en rot i täljaren. Vi dividerar med \( (x-1) \) och får att \(x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)\). \((x^2+x+1)\) försöker vi faktorisera med hjälp av nollställen, de saknas.
  Alltså \( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{1-x} = \\ \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{1-x} = \lim_{x \to 1} \dfrac{-(-x+1)(x^2+x+1)}{1-x} = \\ \lim_{x \to 1} -(x^2+x+1) = -(1^1+1+1) = -3 \)
2. \( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x^4-16} \)
  
  Vi faktoriserar med hjälp av konjugatregeln.
  
  \( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x^4-16} = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{(x^2-4)(x^2+4)} = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{(x^2+4)} = \dfrac{1}{8}\)
3. \( \lim_{x \to -1} \dfrac{2x^2+3x+1}{x^2-1} \)
  
  Täljaren faktoriserar vi via nollställen och nämnaren via konjugatregeln.
  
  \( 2x^2+3x+1 \) har nollställena \(x=-1 \) och \(x=-\dfrac{1}{2}\). Koefficienten framför \( x^2 \) är \( 2 \), alltså \( 2x^2+3x+1 =2(x+1)(x+\dfrac{1}{2}) = (x+1)(2x+1) \).
  
  \( x^2-1 =(x+1)(x-1) \).
  
  Vi får \( \lim_{x \to -1} \dfrac{2x^2+3x+1}{x^2-1} = \lim_{x \to -1} \dfrac{(x+1)(2x+1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to -1} \dfrac{(2x+1)}{(x-1)} = \dfrac{-2+1}{-1-1} = \dfrac{1}{2} \)
Bestäm konstanterna \( a \) och \( b \) så att polynomet \( P(x) = x^5+ax^4+5b \) är delbart med polynomen \( (x+2) \) och \( x-1 \).

Polynomen \( x+2 \) och \( x-1 \) ger att \( P(-2) = 0\) och \( P(1)=0 \).

Bilda ett ekvationssystem och kom fram till \( a = \dfrac{11}{5} \) och \( b = -\dfrac{16}{25} \).
På räknarprogram med CAS funktion kan man bestämma gränsvärden. Då faktoriserar och förkortar räknaren före den bestämmer gränsvärdet. Formulera en algorimt som gör det.

Lösningen
En del av kursen är att lära sig programmera. Gå till tie.koodariksi.fi, registrera dig och börja jobba på Ohjelmoinnin alkeet. Uppe till höger kan du byta språk.
Jobba ca en timme med materialet, eller med kapitlen 7-9.