MaG Tal och ekvationer

2. Algebra

Diskutera parvis hur vi utför följande uträkningar

  • Förenkla \(2a+4b-a-7b\).
  • Förenkla \(2(a-4)\)
  • Förenkla \((2-a)(a+1)\).
  • Lös ekvationen \(3x-4 = x+2\).
  • För vilka värden gäller att \(2x^2=8\).
  • Lös \(4x^2-x=0\).
  • Bestäm de x som uppfyller \(4x - 6 > 6\).
  • Lös \(2x -1< 4x\).
  • Lös ekvationssystemet \(\left\{ \begin{array}{lcr} 2x - y & = & 1 \\ x + y & = & 5 \end{array} \right.\).

Uppgifter

  1. Förenkla följande uttryck
    1. \(2a-4b+2b+a\)

      \(2a-4b+2b+a = 3a-2b\)

    2. \(3m - 2-2m-1\)

      \(3m - 2-2m-1 = m-3\)

    3. \( 3a+2(a-1) \)

      \(3a+2(a-1) = 3a+2a-2 = 5a-2\)

    4. \(4(n+2)-(3-n)\)

      \(4(n+2)-(3-n) = 4n+8-3+n = 5n+5\)

  2. Förenkla följande uttryck
    1. \(3(x-1)\)

      \(3(x-1) = 3\cdot x+3(-1)=3x-3\)

    2. \((3-x)(x-1)\)

      \((3-x)(x-1) =3(x-1)-x(x-1) =3\cdot x +3(-1)-x\cdot x -x(-1)=3x-3-x^2+x = -x^2+4x-3\)

    3. \(-a(1-a)\)

      \(-a(1-a) = -a\cdot 1 -a(-a)=-a+a^2\)

  3. Bryt ut det gemensamma och fyll i det som saknas.
    1. \(3x-3 =\underline{\qquad} (x-1)\)

      \(3x-3 =\underline{3} (x-1)\)

    2. \(a^2+2a=\underline{\qquad}(a+2)\)

      \(a^2+2a=\underline{a}(a+2)\)

    3. \(2x^2-x = x(\underline{\qquad})\)

      \(2x^2-x = x(\underline{2x-1})\)

    4. \(xy+2y=y(\underline{\qquad})\)

      \(xy+2y=y(\underline{x+2})\)

  4. Lös följande ekvationer.
    1. \(3x-1= 2x+4\)

      \(\begin{array}{rcll} 3x-1 & = & 2x+4 &\| +1 -2x \\ 3x -1 +1 -2x & = & 2x+4+1-2x \\ 3x -2x & = & 4+1 \\ x & = & 5 \\ \end{array}\)

    2. \(2x +2 = 4(x + 3)\)

      \(\begin{array}{rcll} 2x +2 & = & 4(x + 3) \\ 2x +2 & = & 4x+12 & \mid -2-4x\\ 2x +2-2-4x & = & 4x+12-2-4x \\ 2x-4x & = & 12-2 \\ -2x & = & 10 & \mid /(-2)\\ \dfrac{-2x}{-2} & = & \dfrac{10}{-2} \\ x & = & -5\\ \end{array}\)

    3. \(\dfrac{x}{4} + 2 = \dfrac{x+2}{3}\)

      \(\begin{array}{rcll} \dfrac{x}{4} + 2 & = & \dfrac{x+2}{3} & \mid \cdot 12 \\ \dfrac{12 \cdot x}{4} + 12\cdot 2 & = & \dfrac{12(x+2)}{3} & \mid \\ 3x +24 & = & 4(x+2) \\ 3x +24 & = & 4x + 8 & \mid -24 -4x\\ 3x +24-24-4x & = & 4x+8-4x-24 \\ -x & = & -16 & \mid \cdot (-1) \\ x & = & 16 \\ \end{array}\)

  5. Lös följande ekvationer.
    1. \(x^2=25\)

      \(x=\pm5\) eftersom \(5^2 = 25\) och \((-5)^2=25\).

    2. \(3x^2=27\)

      \(\begin{array}{rcll} 3x^2& = &27 & \mid /3 \\ x^2 & = & 9 & \mid \sqrt{\quad}\\ x & = & \pm 3 \end{array}\)

    3. \(4x^2 -3 =61\)

      \(\begin{array}{rcll} 4x^2 -3 & = &61 & \mid +3 \\ 4x^2 -3+3 & = & 61+3 \\ 4x^2 & = & 64& \mid /4 \\ x^2 & = & 16 & \mid \sqrt{\quad} \\ x & = & \pm 4 \end{array}\)

    4. \(3x^2-4 = 2(x^2+4)\)

      \(\begin{array}{rcll} 3x^2-4 & = & 2(x^2+4)\\ 3x^2 -4 & = &2x^2+8 & \mid -2x^2 +4\\ 3x^2 -4 -2x^2+4 & = & 2x^2+8-2x^2+4 \\ 3x^2-2x^2 & = & 8+4\\ x^2 & = & 12 & \mid \sqrt{\quad} \\ x & = & \pm\sqrt{12}= \pm2\sqrt{3}\\ \end{array}\)

  6. Lös följande ekvationer.
    1. \(x^2-2x=0\)

      \(\begin{array}{rcll} x^2-2x & = & 0 \\ x(x-2) & = & 0 &\text{Nollregeln} \\ x=0 & & x-2=0 \\ && x=2 \\ \end{array}\)

    2. \(3x^2+6x =0\)

      \(\begin{array}{rcll} 3x^2+6x & = &0 \\ 3x(x+2) & = &0 &\text{Nollregeln} \\ 3x=0 &&x+2=0 \\ x=0 && x=-2 \\ \end{array}\)

    3. \(3x^3-12x =0\)

      \(\begin{array}{rcll} 3x^3-12x & = &0 \\ 3x(x^2-4) & = & 0 &\text{Nollregeln}\\ 3x =0 && x^2-4 =0 \\ x=0 && x^2 = 4 \\ && x=\pm 2\\ \end{array}\)

  7. Lös följande olikheter.
    1. \(4x-4 > 2x\)

      \(\begin{array}{rcll} 4x-4 &>& 2x & \mid +4-2x \\ 4x-4+4-2x &>&2x+4-2x \\ 2x &>&4 & \mid /2 \\ x &>& \dfrac{4}{2} =2 \end{array}\)

    2. \(7x +7< 3x+1\)

      \(\begin{array}{rcll} 7x +7&<& 3x+1 & \mid -7-3x\\ 7x +7-7-3x&<& 3x+1-7-3x \\ 7x-3x &<& 1-7 \\ 4x &<&-6 & \mid /4 \\ x &<& \dfrac{-6}{4} =-\dfrac{3}{2}\\ \end{array}\)

    3. \(4x - 2 \leq 6x +4\)

      \(\begin{array}{rcll} 4x - 2 &\leq& 6x +4 & \mid +2-6x \\ 4x - 2 +2-6x &\leq& 6x +4 +2-6x \\ 4x -6x &\leq & 4+2 \\ -2x &\leq& 6 & \mid /-2 \quad\text{OBS! Negativt!} \\ x &\geq & -3\\ \end{array}\)

    4. \(3x -2 \geq 4x +3\)

      \(\begin{array}{rcll} 3x -2 &\geq & 4x +3 & \mid 2-4x \\ 3x -2 +2-4x &\geq & 4x +3 +2-4x \\ 3x-4x &\geq &3+2 \\ -x &\geq & 5 & \mid \cdot (-1) \quad\text{OBS! Negativt!} \\ x &\leq & -5 \\ \end{array}\)

    5. \(5x -(2x-1) \geq 3x\)

      \(\begin{array}{rcll} 5x -(2x-1) &\geq & 3x \\ 5x -2x +1 &\geq & 3x \\ 3x +1 &\geq & 3x & \mid -1-3x\\ 3x +1-1-3x &\geq &3x -1 -3x \\ 0 &\geq & -1 \\ \end{array}\)

      Alltså är olikheten alltid sann.

  8. Lös följande ekvationssystem.

    1. Lös denna för hand utan räknare eller dator.

      \(\left\{ \begin{array}{rcl} x+y& = &1 \\ -x+y& = &3\\ \end{array} \right.\)

      Då vi adderar ihop ekvationerna får vi \(2y = 4 \Leftrightarrow y=2\). Insättning i någondera ekvation ger \(x=-1\).

    2. \(\left\{ \begin{array}{rcl} 2x-y & = & 3 \\ x +3y& = & 12\\ \end{array} \right.\)

      Tex genom att kombinera ekvationerna får vi att \(2(12-3y)-y=3\) ger att \(y=3\) som sätts in i någondera ekvation och då får vi att \(x=3\).

    3. Lös följande ekvationspar genom att använda dig av ett räknarprogram på dator.

      \(\left\{ \begin{array}{rcl} x +4y & = & 4 \\ -4x +8y & = & -16 \\ \end{array} \right.\)

      Skärningspunkten är \( (0,4) \).