2. Algebra

Diskutera parvis hur vi utför följande uträkningar

Förenkla $2a+4b-a-7b$ .
Förenkla $2(a-4)$
Förenkla $(2-a)(a+1)$ .
Lös ekvationen $3x-4 = x+2$ .
För vilka värden gäller att $2x^2=8$ .
Lös $4x^2-x=0$ .
Bestäm de x som uppfyller $4x - 6 > 6$ .
Lös $2x -1< 4x$ .
Lös ekvationssystemet $\left\{ \begin{array}{lcr} 2x - y & = & 1 \\ x + y & = & 5 \end{array} \right.$ .

Uppgifter

Förenkla följande uttryck
1. $2a-4b+2b+a$
  
  $2a-4b+2b+a = 3a-2b$
2. $3m - 2-2m-1$
  
  $3m - 2-2m-1 = m-3$
3. $3a+2(a-1)$
  
  $3a+2(a-1) = 3a+2a-2 = 5a-2$
4. $4(n+2)-(3-n)$
  
  $4(n+2)-(3-n) = 4n+8-3+n = 5n+5$
Förenkla följande uttryck
1. $3(x-1)$
  
  $3(x-1) = 3\cdot x+3(-1)=3x-3$
2. $(3-x)(x-1)$
  
  $(3-x)(x-1) =3(x-1)-x(x-1) =3\cdot x +3(-1)-x\cdot x -x(-1)=3x-3-x^2+x = -x^2+4x-3$
3. $-a(1-a)$
  
  $-a(1-a) = -a\cdot 1 -a(-a)=-a+a^2$
Bryt ut det gemensamma och fyll i det som saknas.
1. $3x-3 =\underline{\qquad} (x-1)$
  
  $3x-3 =\underline{3} (x-1)$
2. $a^2+2a=\underline{\qquad}(a+2)$
  
  $a^2+2a=\underline{a}(a+2)$
3. $2x^2-x = x(\underline{\qquad})$
  
  $2x^2-x = x(\underline{2x-1})$
4. $xy+2y=y(\underline{\qquad})$
  
  $xy+2y=y(\underline{x+2})$
Lös följande ekvationer.
1. $3x-1= 2x+4$
  
  $\begin{array}{rcll} 3x-1 & = & 2x+4 &\| +1 -2x \\ 3x -1 +1 -2x & = & 2x+4+1-2x \\ 3x -2x & = & 4+1 \\ x & = & 5 \\ \end{array}$
2. $2x +2 = 4(x + 3)$
  
  $\begin{array}{rcll} 2x +2 & = & 4(x + 3) \\ 2x +2 & = & 4x+12 & \mid -2-4x\\ 2x +2-2-4x & = & 4x+12-2-4x \\ 2x-4x & = & 12-2 \\ -2x & = & 10 & \mid /(-2)\\ \dfrac{-2x}{-2} & = & \dfrac{10}{-2} \\ x & = & -5\\ \end{array}$
3. $\dfrac{x}{4} + 2 = \dfrac{x+2}{3}$
  
  $\begin{array}{rcll} \dfrac{x}{4} + 2 & = & \dfrac{x+2}{3} & \mid \cdot 12 \\ \dfrac{12 \cdot x}{4} + 12\cdot 2 & = & \dfrac{12(x+2)}{3} & \mid \\ 3x +24 & = & 4(x+2) \\ 3x +24 & = & 4x + 8 & \mid -24 -4x\\ 3x +24-24-4x & = & 4x+8-4x-24 \\ -x & = & -16 & \mid \cdot (-1) \\ x & = & 16 \\ \end{array}$
Lös följande ekvationer.
1. $x^2=25$
  
  $x=\pm5$ eftersom $5^2 = 25$ och $(-5)^2=25$ .
2. $3x^2=27$
  
  $\begin{array}{rcll} 3x^2& = &27 & \mid /3 \\ x^2 & = & 9 & \mid \sqrt{\quad}\\ x & = & \pm 3 \end{array}$
3. $4x^2 -3 =61$
  
  $\begin{array}{rcll} 4x^2 -3 & = &61 & \mid +3 \\ 4x^2 -3+3 & = & 61+3 \\ 4x^2 & = & 64& \mid /4 \\ x^2 & = & 16 & \mid \sqrt{\quad} \\ x & = & \pm 4 \end{array}$
4. $3x^2-4 = 2(x^2+4)$
  
  $\begin{array}{rcll} 3x^2-4 & = & 2(x^2+4)\\ 3x^2 -4 & = &2x^2+8 & \mid -2x^2 +4\\ 3x^2 -4 -2x^2+4 & = & 2x^2+8-2x^2+4 \\ 3x^2-2x^2 & = & 8+4\\ x^2 & = & 12 & \mid \sqrt{\quad} \\ x & = & \pm\sqrt{12}= \pm2\sqrt{3}\\ \end{array}$
Lös följande ekvationer.
1. $x^2-2x=0$
  
  $\begin{array}{rcll} x^2-2x & = & 0 \\ x(x-2) & = & 0 &\text{Nollregeln} \\ x=0 & & x-2=0 \\ && x=2 \\ \end{array}$
2. $3x^2+6x =0$
  
  $\begin{array}{rcll} 3x^2+6x & = &0 \\ 3x(x+2) & = &0 &\text{Nollregeln} \\ 3x=0 &&x+2=0 \\ x=0 && x=-2 \\ \end{array}$
3. $3x^3-12x =0$
  
  $\begin{array}{rcll} 3x^3-12x & = &0 \\ 3x(x^2-4) & = & 0 &\text{Nollregeln}\\ 3x =0 && x^2-4 =0 \\ x=0 && x^2 = 4 \\ && x=\pm 2\\ \end{array}$
Lös följande olikheter.
1. $4x-4 > 2x$
  
  $\begin{array}{rcll} 4x-4 &>& 2x & \mid +4-2x \\ 4x-4+4-2x &>&2x+4-2x \\ 2x &>&4 & \mid /2 \\ x &>& \dfrac{4}{2} =2 \end{array}$
2. $7x +7< 3x+1$
  
  $\begin{array}{rcll} 7x +7&<& 3x+1 & \mid -7-3x\\ 7x +7-7-3x&<& 3x+1-7-3x \\ 7x-3x &<& 1-7 \\ 4x &<&-6 & \mid /4 \\ x &<& \dfrac{-6}{4} =-\dfrac{3}{2}\\ \end{array}$
3. $4x - 2 \leq 6x +4$
  
  $\begin{array}{rcll} 4x - 2 &\leq& 6x +4 & \mid +2-6x \\ 4x - 2 +2-6x &\leq& 6x +4 +2-6x \\ 4x -6x &\leq & 4+2 \\ -2x &\leq& 6 & \mid /-2 \quad\text{OBS! Negativt!} \\ x &\geq & -3\\ \end{array}$
4. $3x -2 \geq 4x +3$
  
  $\begin{array}{rcll} 3x -2 &\geq & 4x +3 & \mid 2-4x \\ 3x -2 +2-4x &\geq & 4x +3 +2-4x \\ 3x-4x &\geq &3+2 \\ -x &\geq & 5 & \mid \cdot (-1) \quad\text{OBS! Negativt!} \\ x &\leq & -5 \\ \end{array}$
5. $5x -(2x-1) \geq 3x$
  
  $\begin{array}{rcll} 5x -(2x-1) &\geq & 3x \\ 5x -2x +1 &\geq & 3x \\ 3x +1 &\geq & 3x & \mid -1-3x\\ 3x +1-1-3x &\geq &3x -1 -3x \\ 0 &\geq & -1 \\ \end{array}$
  Alltså är olikheten alltid sann.
Lös följande ekvationssystem.
1. Lös denna för hand utan räknare eller dator.
  $\left\{ \begin{array}{rcl} x+y& = &1 \\ -x+y& = &3\\ \end{array} \right.$
  
  Då vi adderar ihop ekvationerna får vi $2y = 4 \Leftrightarrow y=2$ . Insättning i någondera ekvation ger $x=-1$ .
2. $\left\{ \begin{array}{rcl} 2x-y & = & 3 \\ x +3y& = & 12\\ \end{array} \right.$
  
  Tex genom att kombinera ekvationerna får vi att $2(12-3y)-y=3$ ger att $y=3$ som sätts in i någondera ekvation och då får vi att $x=3$ .
3. Lös följande ekvationspar genom att använda dig av ett räknarprogram på dator.
  
  $\left\{ \begin{array}{rcl} x +4y & = & 4 \\ -4x +8y & = & -16 \\ \end{array} \right.$
  
  Skärningspunkten är $(0,4)$ .